Question

【题目】在自习课上，小明拿来如下框的一道题目（原问题）和合作学习小组的同学们交流．

如图1，已知△ABC，∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，分别以AB，BC为边向外作△ABD与△BCE，且DA＝DB，EB＝EC，∠ADB＝∠BEC＝90°，连接DE交AB于点F．探究线段DF与EF的数量关系．

小红同学的思路是：过点D作DG⊥AB于点G，构造全等三角形，通过推理使问题得解．

小华同学说：我做过一道类似的题目，不同的是∠ABC＝30°，∠ADB＝∠BEC＝60°．

请你参考小明同学的思路，探究并解决以下问题：

（1）写出原问题中DF与EF的数量关系为　 ．

（2）如图2，若∠ABC＝30°，∠ADB＝∠BEC＝60°，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明．

Answer 1

【答案】（1）DF＝EF；（2）不发生变化，理由见解析

【解析】

（1）结论：DF＝EF．只要证明△DFG≌△EFB（AAS）即可解决问题；

（2）猜想：DF＝FE．过点D作DG⊥AB于G，则∠DGB＝90°．由Rt△DBG≌Rt△BAC（HL），推出DG＝BC，再证明△DFG≌△EFB（AAS）即可解决问题；

解：（1）结论：DF＝EF．

理由：作DG⊥AB于G．

∵∠DBG＝∠CBE＝45°，∠DGB＝∠BEC＝90°，DB＝BC，

∴△DBG≌△BCE（AAS），

∴GD＝BE，

∵∠DGB＝∠GBE＝90°，

∴DG∥BE，

∴∠FDG＝∠BEF，

∵∠DFG＝∠BFE，

∴△DFG≌△EFB（AAS），

∴DF＝EF．

故答案为DF＝EF．

（2）猜想：DF＝FE．

理由：过点D作DG⊥AB于G，则∠DGB＝90°．

∵DA＝DB，∠ADB＝60°．

∴AG＝BG，△DBA是等边三角形，

∴DB＝BA，

∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，

∴AC＝AB＝BG，

在Rt△DBG和Rt△BAC中，

∴Rt△DBG≌Rt△BAC（HL），

∴DG＝BC，

∵BE＝EC，∠BEC＝60°，

∴△EBC是等边三角形，

∴BC＝BE，∠CBE＝60°，

∴DG＝BE，∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°，

在△DFG和△EFB中，

∴△DFG≌△EFB（AAS），

∴DF＝EF．