Question

已知关于x的一元二次方程x²+（m+3）x+m+1=0．
（1）已知：方程的一个根为-2，求m的值；
（2）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根：
（3）若x₁，x₂是原方程的两根，且（x₁-x₂）²=8，求m的值．

Answer 1

考点：根的判别式,一元二次方程的解,根与系数的关系

专题：

分析：（1）把方程的一个根-2代入x²+（m+3）x+m+1=0，计算即可求m的值；
（2）根据关于x的一元二次方程x²+（m+3）x+m+1=0的根的判别式△=b²-4ac的符号来判定该方程的根的情况；
（3）根据根与系数的关系求得x₁+x₂=-（m+3），x₁•x₂=m+1；然后由已知条件“（x₁-x₂）²=8”可以求得（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=8，从而列出关于m的方程，通过解该方程即可求得m的值．

解答：（1）解：由题意，把x=-2代入x²+（m+3）x+m+1=0，
得：4-2（m+3）+m+1=0，
解得m=-1；

（2）证明：∵△=（m+3）²-4（m+1）
=（m+1）²+4，
又∵无论m取何值，（m+1）²+4恒大于0，
∴原方程总有两个不相等的实数根；

（3）解：∵x₁，x₂是原方程的两根，
∴x₁+x₂=-（m+3），x₁•x₂=m+1．
∵（x₁-x₂）²=8，
∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=8，
∴[-（m+3）]²-4（m+1）=8，
∴m²+2m-3=0，
解得：m₁=-3，m₂=1．

点评：本题考查了一元二次方程的解的定义，根与系数的关系，根的判别式．一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式为△=b²-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．