Question

【题目】如图，已知点D为OB上的一点，按下列要求进行尺规作图（保留作图痕迹），并回答问题．

（1）作∠AOB的平分线OC，在OC上取一点P使得OP＝a；

（2）过点P作OA边上的高；

（3）在边OA上取一点E，使得PE＝PD，请写出∠OEP与∠ODP的数量关系．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

（1）以点O为圆心，以任意长为半径画弧与∠AOB的两边分别相交，再以两交点为圆心，以大于两交点之间的距离的一半为半径画弧，相交于一点，过这一点与O作射线OC即可；在OC上取一点P，使得OP＝a；

（2）一点P为原心，任意长半径与OA相交于两点，在以该两点为画弧，两弧交于一点，链接改点与点P，即为所求

（3）以O为圆心，以OD为半径作弧，交OA于E2，连接PE2，作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PM＝PN，利用HL证明△E2PM≌△DPN，得出∠OE2P＝∠ODP，再根据平角的定义即可求解．

解：（1）如图，OC即为所求；如图，OP＝a；

(2) 如图所示.

（3）∠OEP＝∠ODP或∠OEP+∠ODP＝180°．

理由是：以O为圆心，以OD为半径作弧，交OA于E2，连接PE2，作PM⊥OA于M，

PN⊥OB于N，则PM＝PN．

在△E2PM和△DPN中，

∴△E2PM≌△DPN（HL），

∴∠OE2P＝∠ODP；

以P为圆心，以PD为半径作弧，交OA于另一点E1，连接PE1，

则此点E1也符合条件PD＝PE1，

∵PE2＝PE1＝PD，

∴∠PE2E1＝∠PE1E2，

∵∠OE1P+∠E2E1P＝180°，

∵∠OE2P＝∠ODP，

∴∠OE1P+∠ODP＝180°，

∴∠OEP与∠ODP所有可能的数量关系是：∠OEP＝∠ODP或∠OEP+∠ODP＝180°．