Question

14．已知b＞a＞0，$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\frac{7}{a+b}$．
（1）求$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$的值；
（2）求$\frac{b}{a}$-$\frac{a}{b}$的值．

Answer 1

分析 （1）已知等式左边整理后，变形得到结果，原式化简后代入计算即可求出值；
（2）原式通分并利用同分母分式的减法法则变形，利用完全平方公式结合（1）的结果计算即可求出值．

解答 解：（1）已知等式整理得：$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\frac{a+b}{ab}$=$\frac{7}{a+b}$，即（a+b）²=7ab，
∴a²+b²=5ab，
（1）原式=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{ab}$=5；
（2）由$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$=5，两边平方得：（$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$）²=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$+2=25，即$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$=23，
∴（$\frac{b}{a}$-$\frac{a}{b}$）²=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$-2=21，
∵b＞a＞0，
∴$\frac{b}{a}$-$\frac{a}{b}$＞0，
则$\frac{b}{a}$-$\frac{a}{b}$=$\sqrt{21}$．

点评 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．