Question

【题目】如图，点A，B，C都在抛物线y＝ax2﹣2amx+am2﹣9（其中a＞0）上，AB∥x轴，点P是抛物线的顶点，tan∠PBA＝2，∠BAC＝45°．

（1）填空：抛物线的顶点P的坐标为　 （用含m的代数式表示）；

（2）求△ABC的面积（用含a的代数式表示）；

（3）若△ABC的面积为10，当2m﹣3≤x≤2m+5时，y的最小值为5，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）（m，﹣9）；（2）S△ABC＝；（3）m的值为﹣5﹣或3+．

【解析】

（1）用配方法写出抛物线顶点式即求出顶点坐标；

（2）过P作AB的垂线PD，因为A、B具有对称性故点D为AB中点，构造∠PDB=90°，则把tan∠PBA=2转化为PD=2BD=AB．设AD=BD=n，进而用n表示A的坐标，再代入抛物线解析式，得到n与a的关系．过C作AB的垂线CE，构造等腰直角△ACE，设AE=CE=t，用t表示C的坐标并代入抛物线解析式，得到t与a的关系．最后直接AB与CE的积的一半即能用a表示△ABC的面积；

（3）利用△ABC面积求出a=1，抛物线开口向上，最小值为y=-9，故条件里提到的范围2m-3≤x≤2m+5不包含有对称轴x=m．分两种情况：①若此范围在对称轴左侧，即2m+5＜m，y随x的增大而减小，所以x=2m+5时对应最小值；②若此范围在对称轴右侧，即2m-3＞m，y随x的增大而增大，x=2m-3对应最小值．把相应的x和y值代入抛物线解析式即求得m的值．

（1）∵y＝ax2﹣2amx+am2﹣9＝a（x﹣m）2﹣9，

∴顶点P的坐标为（m，﹣9），

故答案为：（m，﹣9）．

（2）过点P作PD⊥AB于点D，过点C作CE⊥AB于点E，

∵AB∥x轴，且点A、B在抛物线上，

∴PA＝PB，

∴AD＝BD

∵tan∠PBA＝＝2，

∴PD＝2BD＝AB，

设AD＝BD＝n（n＞0），则PD＝AB＝2n，

∴A（m﹣n，﹣9+2n），

把A的坐标代入抛物线解析式得：a（m﹣n﹣m）2﹣9＝﹣9+2n，

整理得：n＝，

∴AB＝，A（m﹣，﹣9+），

∵∠AEC＝90°，∠BAC＝45°，

∴AE＝CE，

设AE＝CE＝t（t＞0），则C（m﹣+t，﹣9++t），

把C的坐标代入抛物线解析式得：a（m﹣+t﹣m）2﹣9＝﹣9++t，

整理得：t＝，

∴CE＝，

∴S△ABC＝ABCE＝；

（3）∵S△ABC＝＝10，a＞0，

∴a＝1，

∴抛物线解析式为：y＝（x﹣m）2﹣9，

∴抛物线最小值y＝﹣9＜5，

∴当2m﹣3≤x≤2m+5时，不包含有对称轴x＝m，

①若2m+5＜m，即m＜﹣5时，x＝2m+5对应最小值y＝5，

∴（2m+5﹣m）2﹣9＝5，

解得：m1＝﹣5+（舍去），m2＝﹣5﹣，

②若2m﹣3＞m，即m＞3时，x＝2m﹣3对应最小值y＝5，

∴（2m﹣3﹣m）2﹣9＝5，

解得：m1＝3+，m2＝3﹣（舍去），

综上所述，m的值为﹣5﹣或3+．