Question

【题目】已知：如图，在平面直角坐标系中，A(a，0)、B(0，b)，且|a＋2|＋(b＋2a)2＝0，点P为x轴上一动点，连接BP，在第一象限内作BC⊥AB且BC＝AB

(1) 求点A、B的坐标

(2) 如图1，连接CP．当CP⊥BC时，作CD⊥BP于点D，求线段CD的长度

(3) 如图2，在第一象限内作BQ⊥BP且BQ＝BP，连接PQ．设P(p，0)，直接写出S△PCQ＝_____

Answer 1

【答案】（1）A（-2,0），B（0，4）；（2）CD=2；（3）

【解析】

（1）由非负数的性质，可求出a、b的值，得到A、B的坐标；

（2）过C作CE⊥OB于E，与PB交于F，易证△AOB≌△BEC，可得OA=BE=2，即E为OB中点，所以EF为△BOP的中位线，F为Rt△BCP斜边BP上的中点，所以，所以∠BCF=∠CBD=∠ABO，再证△AOB≌△CDB即可得CD=OA.

（3）过B作BG⊥CQ于点G，延长QC与x轴交于H，通过证△ABP≌△CBQ，△BOP≌△BGQ可推出OBGH为矩形，以CQ为底，PH为高求面积.

解：（1）∵|a＋2|＋(b＋2a)2＝0

∴a+2=0，b+2a=0，解得a=-2，b=4，

∴A（-2,0），B（0，4）

（2）如图所示，过C作CE⊥OB于E，与PB交于F，

∵BC⊥AB，∴∠ABO+∠EBC=90°，

在Rt△BCE中，∠EBC+∠BCE=90°，

∴∠ABO=∠BCE

在△AOB和△BEC中，

∴△AOB≌△BEC（AAS）

∴BE=AO=2，又∵OB=4，∴E为OB的中点，

∵EC∥OP，∴EF为△BOP的中位线，则F为BP的中点，

在Rt△BCP中，CF为斜边上的中线，

∴

∴∠BCE=∠CBD=∠ABO

在△AOB和△CDB中

∴△AOB≌△CDB（AAS）

∴CD=AO=2

（3）如下图所示，过B作BG⊥CQ于点G，延长QC与x轴交于H，

∵∠ABP+∠PBC=90°，∠PBC+CBQ=90°，

∴∠ABP=∠CBQ

在△ABP与△CBQ中，

∴△ABP≌△CBQ（SAS）

∴∠BPO=∠BQG，CQ=AP=2+p，

在△BOP和△BGQ中，

∴△BOP≌△BGQ（AAS）

∴∠OBP=∠GBQ，BG=BO=4

又∵∠GBQ+∠PBG=90°

∴∠OBP+∠PBG=90°，即∠OBG=90°，

在四边形OBGH中，∠OBG=∠BOG=∠BGH=90°，

∴∠OHG=90°，∴PH是△PCQ中CQ边上的高，

PH=OH-OP=4-p

∴