Question

【题目】两个完全相同的矩形纸片、如图放置，重叠部分是四边形．

试证明四边形为菱形；

与是什么位置关系，试证明．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）垂直平分，理由见解析

【解析】

（1）易证四边形BNDM是平行四边形；根据AB=BA′，运用AAS可证明Rt△ABM≌Rt△A′BN，得BM=BN．根据有一邻边相等的平行四边形是菱形得证；

（2）通过Rt△BA′N≌Rt△CDN，得到A′N=CN，推出∠A′NG=∠CNG，根据等腰三角形的性质结论得到结论．

（1）∵两个完全相同的矩形纸片ABCD、BA′DE，根据矩形的对边平行，∴BC∥AD，BE∥DA′，∴四边形BNDM是平行四边形．

∵∠ABM+∠MBN=90°，∠MBN+∠A′BN=90°，∴∠ABM=∠A′BN．

在△ABM和△A′BN中，，∴△ABM≌△A′BN，（ASA），∴BM=BN，∴四边形BNDM是菱形；

（2）MN垂直平分A′C．理由如下：

在Rt△BA′N与Rt△CDN中，∵，∴Rt△BA′N≌Rt△CDN，∴A′N=CN．

∵∠BNM=∠DNM，∠A′NG=∠DNM，∠CNG=∠BNM，∴∠A′NG=∠CNG，∴MN垂直平分A′C．