Question

7．如图在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点N，求证：
（1）△ADC≌△CEB；
（2）DE=AD+BE．

Answer 1

分析 （1）由垂直得∠ADC=∠BEC=90°，由同角的余角相等得：∠DAC=∠BCE，因此根据AAS可以证明）△ADC≌△CEB；
（2）由（1）中的全等得：DC=BE，AD=EC，根据线段的和可得结论．

解答 证明：（1）∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠DAC+∠ACD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
∴∠DAC=∠BCE，
在△ADC和△CEB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠BEC}\\{∠DAC=∠BCE}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△CEB；
（2）∵△ADC≌△CEB，
∴DC=BE，AD=EC，
∵DE=DC+EC，
∴DE=BE+AD．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，属于常考题型，熟练掌握全等三角形的判定方法是关键；在证明角相等时常利用同角的余角相等来证明角的大小关系；要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．