Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（0，﹣4）和B（2，0）两点．

（1）求c的值及a，b满足的关系式；

（2）若抛物线在A和B两点间，y随x的增大而增大，求a的取值范围；

（3）抛物线同时经过两个不同的点M（p，m），N（﹣2﹣p，n）．

①若m＝n，求a的值；

②若m＝﹣2p﹣3，n＝2p+1，点M在直线y＝﹣2x﹣3上，请验证点N也在y＝﹣2x﹣3上并求a的值．

Answer 1

【答案】（1）c＝﹣4，2a+b＝2；（2）0＜a≤1；（3）①a=；②见解析，a=1．

【解析】

（1）令x＝0，则c＝4，将点B（2，0）代入y＝ax2＋bx＋c可得2a＋b＝2；

（2）由已知可知抛物线开口向上，a＞0，对称轴x＝﹣＝﹣＝1﹣≤0，即可求a的范围；

（3）①m＝n时，M（p，m），N（2p，n）关于对称轴对称，则有1＝1；②将点N（2p，n）代入y＝2x3等式成立，则可证明N点在直线上，再由直线与抛物线的两个交点是M、N，则有根与系数的关系可得p＋（2p）＝，即可求a．

（1）令x＝0，则c＝﹣4，

将点B（2，0）代入y＝ax2+bx+c可得4a+2b﹣4＝0，

∴2a+b＝2；

（2）∵抛物线在A和B两点间，y随x的增大而增大，

∴抛物线开口向上，

∴a＞0，

∵A（0，﹣4）和B（2，0），

∴对称轴x＝﹣＝﹣＝1﹣≤0，

∴0＜a≤1；

（3）①当m＝n时，M（p，m），N（﹣2﹣p，n）关于对称轴对称，

∴对称轴x＝1﹣＝﹣1，

∴a＝；

②将点N（﹣2﹣p，n）代入y＝﹣2x﹣3，

∴n＝4+2p﹣3＝1+2p，

∴N点在y＝﹣2x﹣3上，

联立y＝﹣2x﹣3与y＝ax2+（2﹣2a）x﹣4有两个不同的实数根，

∴ax2+（4﹣2a）x﹣1＝0，

∵p+（﹣2﹣p）＝-=，

∴a＝1．