Question

10．如图，⊙O的直径AB=6，AM和BN是它的两条切线，DC与⊙O相切于点E，并与AM、BN分别相交于D、C两点，当1≤BC≤3时，AD的取值范围是3≤AD≤9．

Answer 1

分析 连接OD、OE、OC，根据切线长定理可知DO、CO平分∠ADC、∠DCB，从而可知∠DOC=90°，然后证明△ODE∽△COE，利用相似三角形的性质即可求出OE²=CE•DE．

解答 解：∵AM、BN、CD是⊙O的两条切线，
∴DO、CO分别平分∠ADC、∠DCB，
AD=DE，BC=CE
∴∠ODC+∠OCD=$\frac{1}{2}$（∠ADC+∠DCB）
∵AD∥BC，
∴∠ODC+∠OCD=90°，
∴∠DOC=90°，
∵OE⊥CD，
∴∠DOE+∠COE=∠COE+∠OCE=90°
∴∠DOE=∠OCE
∴△ODE∽△OCE
∴OE²=CE•ED
∵OE=$\frac{1}{2}$AB=3，
∴9=CE•ED=AD•BC
∴AD=$\frac{9}{BC}$
∵1≤BC≤3
∴3≤AD≤9
故答案为：3≤AD≤9

点评 本题考查切线长的性质，解题的关键是连接OE、OC、OD证明△ODE∽△COE，本题属于中等题型．