Question

如图（1），已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，连接AE、BG．

（1）试猜想线段BG和AE的关系（位置关系及数量关系），请直接写出你得到的结论：

（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一角度a后（0°＜a＜90°），如图（2），通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由：

（3）若BC=DE=m，正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转角度a（0°＜a＜360°）过程中，当AE为最大值时，求AF的值．

Answer 1

       解：（1）如图（1），

∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点，

∴BD=CD=AD，

∵在△BDG和△ADE中

，

∴△BDG≌△ADE（SAS），

∴BG=AE，∠DGB=∠DEA，

延长EA到BG于一点M，

∴∠GAM=∠DAE，

∴∠GMA=∠EDA=90°，

∴线段BG和AE相等且垂直；

（2）成立，

如图（2），延长EA分别交DG、BG于点M′、N′两点，

∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点，

∴∠ADB=90°，且BD=AD，

∵∠BDG=∠ADB﹣∠ADG=90°﹣∠ADG=∠ADE，

∵在△BDG和△ADE中

，

∴△BDG≌△ADE（SAS），

∴BG=AE，∠DEA=∠DGB，

∵∠DEA+∠DNE=90°，∠DNE=∠MNG，

∴∠MNG+∠DGM=90°，

即BG⊥AE且BG=AE；

（3）由（2）知，要使AE最大，只要将正方形绕点D逆时针旋旋转270°，即A，D，E在一条直线上时，AE最大；

∵正方形DEFG在绕点D旋转的过程中，E点运动的图形是以点D为圆心，DE为半径的圆，

∴当正方形DEFG旋转到G点位于BC的延长线上（即正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转270°）时，BG最大，如图（3），

若BC=DE=m，则AD=，EF=m，

在Rt△AEF中，AF²=AE²+EF²=（AD+DE）²+EF²=m²，

∴AF=m，即在正方形DEFG旋转过程中，当AE为最大值时，AF=m．