Question

在同一直角坐标系中，正比例函数的图象可以看做是：将x轴所在的直线绕着原点O逆时针旋转a度角后的图形，若它与反比例函数y=

3

x

的图象分别交于第一、第三象限的点B，D，已知点A（=m，0），C（m，0）．
（1）直接判断并填写：不论α取何值，四边形ABCD的形状一定是

 

；四边形ABCD

 

（填“能”或“不能”）是菱形．
（2）若m=2，且四边形ABCD为矩形，求B点的坐标及旋转角a的值．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）由于反比例函数的图象是一个中心对称图形，点B、D是正比例函数与反比例函数图象的交点，所以点B与点D关于点O成中心对称，则OB=OD，又OA=OC，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得出四边形ABCD的形状，然后假设四边形ABCD为菱形，根据菱形的对角线垂直且互相平分，可知AC⊥BD，且AC与BD互相平分，又AC在x轴上，所以BD应在y轴上，这与“点B、D分别在第一、三象限”矛盾，所以可得出四边形ABCD不可能为菱形；
（2）根据平行四边形的性质可得OA=OB=OC=OD=2，过B作BE⊥x轴于E，由点B在反比例函数y=

3

x

上，设B（a，

3

a

），根据勾股定理求出a的值，继而可得α的值以及B点的坐标．

解答：解：（1）∵反比例函数的图象是一个中心对称图形，点B、D是正比例函数与反比例函数图象的交点，
∴点B与点D关于点O成中心对称，
∴OB=OD，
又∵OA=OC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
四边形ABCD不能是菱形．理由如下：
若四边形ABCD为菱形，则对角线AC⊥BD，且AC与BD互相平分，
∵点A、C的坐标分别为（-m，0）、（m，0），
∴点A、C关于原点O对称，且AC在x轴上，
∴BD应在y轴上，
这与“点B、D分别在第一、三象限”矛盾，
∴四边形ABCD不可能为菱形；

（2）∵m=2，四边形ABCD为矩形，
∴OA=OB=OC=OD=2，
过B作BE⊥x轴于E，
∵点B在y=

3

x

的图象上，
∴设B（a，

3

a

），
在Rt△BOE中，

OE2+BE2

=OB，
即a²+

3

a2

=4，
解得：a₁=1，a₂=

3

，a₃=-1，a₄=-

3

，
∵点B和点D分别在第一、第三象限，
∴a₁=1，a₂=

3

，
即B点的坐标为（1，

3

）或（

3

，1），
tanα=

3

或

3

3

，
∴旋转角a为60°或30°．
故答案为：平行四边形，不能．

点评：本题主要考查了反比例函数的综合运用，涉及了平行四边形的判定和性质，矩形、菱形的性质及三角函数的定义等知识，综合性较强，难度适中．