【题目】已知抛物线开口向下,与轴交于点,顶点坐标为,与轴的交点在,之间(包含端点),则下列结论:
①;②;③对于任意实数,总成立;
④关于的方程有两个不相等的实数根.
其中结论正确的个数是( )
A. 1个B. 2个
C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
由抛物线与y轴的交点位置、对称轴方程可对①进行判断,并能求出另一个交点为(3,0),将代入方程可得a+b+c=0,得到c=-3a,再由轴的交点在,之间(包含端点),可知2≤c≤3从而得到②;根据题意可知x=1时函数取得最大值,则a+b+c≥am2+bm+c从而可以判断③;因为二次函数的最大值为n,而n-1<n,所以与y=n-1这条直线有两个交点,可以判断④.
∵抛物线顶点坐标为,
∴ ,
∴,故①正确;
∵抛物线与轴交于点,
∴a+b+c=0,b=-2a,
∴c=-3a,且c是函数与y轴的交点的纵坐标,
∴2≤c≤3,
∴2≤-3a≤3即,故②正确;
由②可知二次函数开口向下,
又∵顶点坐标为,
∴x=1时y取最大值,
∴a+b+c≥am2+bm+c即a+b≥am2+bm,故③正确;
∵二次函数的最大值为n,并且n-1<n,所以与y=n-1这条直线有两个交点,
∴关于的方程有两个不相等的实数根.故④正确.
故选D.
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【题目】如图,四边形ABCD中,∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=2,CD=,点P在四边形ABCD的边上.若P到BD的距离为,则点P的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
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【题目】如图,马路的两边CF、DE互相平行,线段CD为人行横道,马路两侧的A、B两点分别表示车站和超市,CD与AB所在直线互相平行,且都与马路的两边垂直.马路宽20米,A,B相距62米,∠A=67°,∠B=37°.求CD与AB之间的距离.(参考数据:sin67°≈,cos67°≈,tan67°≈,sn37°≈,cos37°≈,tan37°≈)
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【题目】已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两实数根为x1,x2,根据一元二次方程解的意义和因式分解法解一元二次方程可知,x1,x2也是(x﹣x1)(x﹣x2)=0的两个实数根,所以ax2+bx+c=a(x﹣x1)(x﹣x2).
利用这个结论可以解决一些相关问题.
(1)实数范围内因式分解:
例:分解因式2x2+2x﹣1
解:令2x2+2x﹣1=0,解这个方程,得
=.
即x1=,x2=.
所以 2x2+2x﹣1=.
试仿照上例在实数范围内分解因式:x2﹣6x+1;
(2)解不等式:x2+2x﹣1>0;
(3)灵活运用:
已知方程(x﹣a)(x﹣b)﹣x=0的两个实数根是c、d,求方程(2x﹣c)(2x﹣d)+2x=0的根.
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【题目】如图1,为半圆的直径,点为圆心,为半圆的切线,过半圆上的点作交于点,连接.
(1)连接,若,求证:是半圆的切线;
(2)如图2,当线段与半圆交于点时,连接,,判断和的数量关系,并证明你的结论.
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【题目】在平面直角坐标系中,的顶点坐标分别为,,.动点,同时从点出发,沿,沿折线,均以每秒1个单位长度的速度移动,当一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止移动,移动时间记为秒,连接.
(Ⅰ)如图1,当点移动到中点时,求此时的值及点坐标;
(Ⅱ)在移动过程中,将沿直线翻折,点的对称点为.
①如图2,当点恰好落在边上的点处时,求此时的值;
②当点移动到点时,点落在点处,求此时点的坐标(直接写出结果即可).
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【题目】3月12日是我国义务植树节。某校组织学生开展义务植树活动,在活动结束后随机调查了40名学生每人植树的棵数,根据调查获取的样本数据,制作了不完整的扇形统计图和条形统计图.请根据相关信息,解答下列问题:
(Ⅰ)扇形统计图中m的值是_____________,补全条形统计图
(Ⅱ)求抽取的这部分学生植树棵数的平均数;
(Ⅲ)若本次活动共有320名学生参加,估计植树棵数超过8棵的约有多少人。
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【题目】春暖花开,树木萌芽,某种时令蔬菜的价格呈上升趋势,若这种蔬菜开始时的售价为每斤20元,并且每天涨价2元,从第六天开始,保持每斤30元的稳定价格销售,直到11天结束,该蔬菜退市.
(1)请写出该种蔬菜销售价格y与天数x之间的函数关系式;
(2)若该种蔬菜于进货当天售完,且这种蔬菜每斤进价z与天数x的关系为z=﹣+12(1≤x≤11),且x为整数,那么该种蔬菜在第几天售出后,每斤获得利润最大?最大利润为多少?
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【题目】“C919”大型客机首飞成功,激发了同学们对航空科技的兴趣,如图是某校航模兴趣小组获得的一张数据不完整的航模飞机机翼图纸,图中AB∥CD,AM∥BN∥ED,AE⊥DE,请根据图中数据,求出线段BE和CD的长.(sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,结果保留小数点后一位)
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