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【题目】已知抛物线开口向下,与轴交于点,顶点坐标为,与轴的交点在之间(包含端点),则下列结论:

;②;③对于任意实数总成立;

④关于的方程有两个不相等的实数根.

其中结论正确的个数是(

A. 1B. 2

C. 3D. 4

【答案】D

【解析】

由抛物线与y轴的交点位置、对称轴方程可对①进行判断,并能求出另一个交点为(3,0),将代入方程可得a+b+c=0,得到c=-3a,再由轴的交点在之间(包含端点),可知2c3从而得到②;根据题意可知x=1时函数取得最大值,则a+b+cam2+bm+c从而可以判断③;因为二次函数的最大值为n,而n-1<n,所以y=n-1这条直线有两个交点,可以判断④.

∵抛物线顶点坐标为

,故①正确;

抛物线与轴交于点

∴a+b+c=0b=-2a,

∴c=-3a,且c是函数与y轴的交点的纵坐标,

∴2c3

∴2-3a3,故②正确;

由②可知二次函数开口向下,

顶点坐标为

∴x=1y取最大值,

∴a+b+cam2+bm+ca+bam2+bm,故③正确;

∵二次函数的最大值为n,并且n-1<n,所以y=n-1这条直线有两个交点,

∴关于的方程有两个不相等的实数根.故④正确.

故选D.

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利用这个结论可以解决一些相关问题.

  (1)实数范围内因式分解:

例:分解因式2x22x1

解:令2x22x10,解这个方程,得

.

x1x2.

所以 2x22x1

试仿照上例在实数范围内分解因式:x26x1

2)解不等式:x22x10

3)灵活运用:

已知方程(xa)(xb)﹣x0的两个实数根是cd,求方程(2xc)(2xd)+2x0的根.

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(Ⅰ)如图1,当点移动到中点时,求此时的值及点坐标;

(Ⅱ)在移动过程中,将沿直线翻折,点的对称点为.

①如图2,当点恰好落在边上的点处时,求此时的值;

②当点移动到点时,点落在点处,求此时点的坐标(直接写出结果即可).

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