Question

如图在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是BC上的一点，EC⊥BC，EC=BD
（1）证明：△ABD≌△ACE；
（2）证明：AD⊥AE；
（3）若AF⊥DE，F为垂足，AG=GC，则FG与AC有怎样的位置关系，请说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据等腰直角三角形的性质可得∠B=∠ACB=45°，再求出∠ACE=45°，从而得到∠B=∠ACE，再利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等；
（2）根据全等三角形对应角相等可得∠BAD=∠CAE，再求出∠DAE=∠BAC，然后根据垂直的定义证明即可；
（3）连接CF，根据全等三角形对应边相等可得AD=AE，根据等腰直角三角形的性质可得AF=DF=EF=

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DE，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CF=

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DE，从而得到AF=CF，再根据等腰三角形三线合一的性质解答．

解答：（1）证明：∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵EC⊥BC，
∴∠BCE=90°，
∴∠ACE=90°-45°=45°，
∴∠B=∠ACE，
在△ABD和△ACE中，

AB=AC ∠B=∠ACE EC=BD

，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；

（2）证明：∵△ABD≌△ACE，
∴∠BAD=∠CAE，
∴∠DAE=∠CAD+∠CAE=∠CAD+∠BAD=∠BAC=90°，
∴AD⊥AE；

（3）解：FG⊥AC．
理由如下：连接CF，∵△ABD≌△ACE，
∴AD=AE，
∵AF⊥DE，AD⊥AE，
∴AF=DF=EF=

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DE，
∵EC⊥BC，
∴CF=

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DE，
∴AF=CF，
又∵AG=GC，
∴FG⊥AC．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，（3）作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键．