Question

【题目】如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，与x轴交于点C（﹣2，0），点A的纵坐标为6，AC＝3CB．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）请直接写出不等式组＜kx+b＜4的解集；

（3）点P（x，y）是直线y＝k+b上的一个动点，且满足（2）中的不等式组，过点P作PQ⊥y轴交y轴于点Q，若△BPQ的面积记为S，求S的最大值．

Answer 1

【答案】（1）y＝；（2）﹣3＜x＜0；（3）当m＝﹣时，S取得最大值，最大值为．

【解析】

（1）作AD⊥x轴、BE⊥x轴，设CE=a，则CD=2+a，证△ACD∽△BCE得，即，据此求得a的值即可得出点A的坐标，从而得出反比例函数解析式；

（2）先利用待定系数法求出直线解析式，再结合函数图象可得答案；

（3）设P（m，2m+4）（-3＜m＜0），知PQ=-m，△BPQ在PQ边上的高为2m+6，根据三角形的面积公式得出S关于m的函数解析式，利用二次函数的性质求解可得．

（1）如图所示，过点A作AD⊥x轴于点D，作BE⊥x轴于点E，

则∠ADC＝∠BEC＝90°，

设CE＝a，则CD＝2+a，

∵∠ACD＝∠BCE，

∴△ACD∽△BCE，

∴，即，

解得：BE＝2，a＝1，

∴A（1，6），

∴反比例函数解析式为y＝；

（2）将A（1，6），C（﹣2，0）代入y＝kx+b，

得：，

解得：，

∴直线解析式为y＝2x+4，

又B（﹣3，﹣2），

∴不等式组＜kx+b＜4，即＜2x+4＜4的解集为﹣3＜x＜0；

（3）如图所示，

设P（m，2m+4）（﹣3＜m＜0），

则PQ＝﹣m，△BPQ在PQ边上的高为2m+4﹣（﹣2）＝2m+6，

∴S＝（﹣m）（2m+6）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+）2+，

∵﹣3＜m＜0，且抛物线的开口向下，

∴当m＝﹣时，S取得最大值，最大值为．