Question

1．已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，tanA=$\frac{4}{3}$，CD⊥AB于点D，DE⊥AC，点F在线段BC上，EF交CD于点M．
（1）求CD的长；
（2）若△EFC与△ABC相似，试求线段EM的长．

Answer 1

分析 （1）由已知条件易求BC、AB的长，再根据△ACB的面积为定值即可求出CD的长，
（2）若△EFC与△ABC相似，则CE可以和BC为对应边，也可以和AC为对应边，所以此题要分两种情况讨论求出CF的长，再由△DEM∽△CFM即可求出不同情况下EM的长．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，AC=3，tanA=$\frac{4}{3}$，
∴BC=4，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
∵CD⊥AB于点D，
∴$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$AB•CD，
∴CD=2.4；
（2）∵CD⊥AB于点D，tanA=$\frac{4}{3}$，AC=3，
∴AD=$\frac{9}{5}$，
∵DE⊥AC，tanA=$\frac{4}{3}$，
∴AE=$\frac{27}{20}$，DE=$\frac{36}{27}$，
∴CE=3-$\frac{27}{20}$=$\frac{33}{20}$，
若△EFC与△ABC相似，
则$\frac{CE}{AC}=\frac{CF}{BC}=\frac{EF}{AB}$或$\frac{CE}{BC}=\frac{CF}{AC}=\frac{EF}{AB}$，
解得：CF=$\frac{11}{5}$或$\frac{99}{80}$，EF=$\frac{11}{4}$或$\frac{33}{16}$，
∵DE⊥AC，BC⊥AC，
∴△DEM∽△CFM，
∴$\frac{DE}{CF}=\frac{EM}{FM}$，
∴EM=$\frac{144}{125}$或$\frac{6}{5}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的运用、勾股定理的运用以及三角形面积公式的运用，题目对学生的计算能力要求很高，注意分类讨论的数学思想运用是解题关键．