Question

2．二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）的图象经过点（-1，1），（4，-4）．下列结论：
①$\frac{a}{c}$＜0；
②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小；
③x=4是方程ax²+（b+1）x+c=0的一个根；
④当-1＜x＜4时，ax²+（b+1）x+c＞0．
其中正确的是（　　）

• A． ①③
• B． ①②④
• C． ①③④
• D． ②③④

Answer 1

分析 ①将（-1，1）、（4，-4）分别代入y=ax²+bx+c，即可得出4a=-c，从而得出$\frac{a}{c}$＜0，
②不能得出对称轴方程，所以当x＞1时，y的值随x值的增大而减小不一定正确；
③把x=4代入方程ax²+（b+1）x+c=0整理得，16a+4b+c=-4，把（4，-4）代入y=ax²+bx+c得，16a+4b+c=-4，从而判定x=4是方程ax²+（b+1）x+c=0的一个根；
④由题意可知，当-1＜x＜4时，函数y=ax²+bx+c的图象在直线y=-x的上方，所以ax²+bx+c＞-x，从而得出ax²+（b+1）x+c＞0．

解答 解：∵二次函数y=ax²+bx+c的图象经过（-1，1），（4，-4）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=1①}\\{16a+4b+c=-4②}\end{array}\right.$，
②+①×4，整理，得4a=-c，
∴$\frac{a}{c}$=-$\frac{1}{4}$＜0，故①正确；
∵不能得出对称轴方程，所以当x＞1时，y的值随x值的增大而减小不一定正确；故②错误；
把x=4代入方程ax²+（b+1）x+c=0整理得，16a+4b+c=-4，
把（4，-4）代入y=ax²+bx+c得，16a+4b+c=-4，
∴x=4是方程ax²+（b+1）x+c=0的一个根，故③正确；
由题意可知，当-1＜x＜4时，函数y=ax²+bx+c的图象在直线y=-x的上方，
∴ax²+bx+c＞-x，
∴ax²+（b+1）x+c＞0，故④正确．
故选C．

点评 本题考查了二次函数y=ax²+bx+c的图象与系数的关系：当a＜0，抛物线开口向下；抛物线的对称轴为直线x=-$\frac{b}{2a}$；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b²-4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点．