Question

已知：平行四边形ABCD中，对角线AC⊥AB，AB=15，AC=20，点P为射线BC上一动点，AP⊥PM（点M与点B分别在直线AP的两侧），且∠PAM=∠CAD，连接MD．
（1）当点M在平行四边形内时，BP=x，AP=y，求解析式，并求定义域．
（2）图中是否存在与△AMD相似的三角形？请说明理由．
（3）当△AMD为等腰三角形时，求BP的长．

Answer 1

考点：相似形综合题,等腰三角形的判定与性质,勾股定理,平行四边形的性质,相似三角形的判定与性质

专题：压轴题,分类讨论

分析：（1）可先考虑临界位置（点M在边BC、DC上），从而得到自变量x的取值范围，然后过点A作AH⊥BC于H，如图3，在Rt△AHP中，运用勾股定理就可求出y与x的关系式．
（2）易证△APM∽△ACD，则有

AP

AC

=

AM

AD

．由∠PAM=∠CAD得∠PAC=∠MAD，就可得到△APC∽△AMD．
（3）由于△APC∽△AMD，因此可将△AMD为等腰三角形的问题转化为△APC为等腰三角形的问题，就可解决问题．

解答：解：（1）考虑两个临界位置：
①当点M在线段BC上时，如图1．

则∠APB=180°-∠APM=180°-90°=90°．
在RtABC中，
∵∠BAC=90°，AB=15，AC=20，
∴BC=

AB2+AC2

=25．
∵S_△ABC=

1

2

AB•AC=

1

2

BC•AP，
∴AP=

AB•AC

BC

=

15×20

25

=12．
在RtAPB中，
∵∠APB=90°，AB=15，AP=12，
∴BP=9．
②当点M在线段DC上时，此时点M与点D重合，点P与点C重合，如图2．

则BP=BC=25．
∴当点M在平行四边形内时，x的取值范围是9＜x＜25．
过点A作AH⊥BC于H，如图3．

则有AH=12，BH=9，在Rt△AHP中，
∵∠AHP=90°，AH=12，AP=y，PH=

.

x-9

.

，
∴12²+（x-9）²=y²．
整理得：y²=x²-18x+225．
∵y＞0，∴y=

x2-18x+225

．
∴y与x的关系式为y=

x2-18x+225

，定义域为9＜x＜25．

（2）存在与△AMD相似的三角形．
理由如下：
如图3，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=25，DC=AB=15，AB∥DC．
∴∠ACD=∠BAC=90°．
∴∠APM=∠ACD=90°．
∵∠PAM=∠CAD，
∴△APM∽△ACD．
∴

AP

AC

=

AM

AD

．
∵∠PAM=∠CAD，
∴∠PAC=∠MAD．
∴△APC∽△AMD．

（3）∵△APC∽△AMD，
∴

AP

AM

=

AC

AD

=

PC

MD

．
①若AM=AD，则AP=AC．
此时点P与点C重合，点M与点D重合，
△AMD不存在，故舍去．
②若MA=MD，则PA=PC，如图4．

∵PA=PC，
∴∠PAC=∠PCA．
∵∠BAC=90°，
∴∠BAP+∠PAC=90°，∠ABC+∠BCA=90°．
∴∠BAP=∠ABC．
∴PA=PB．
∴PB=PC．
∴PB=

1

2

BC=

25

2

．
③若DA=DM，则CA=CP．
Ⅰ．点P在线段BC上，如图5．

则CP=CA=20．
所以PB=BC-CP=25-20=5．
Ⅱ．点P在线段BC的延长线上，如图6．

则CP=CA=20．
所以PB=BC+CP=25+20=45．
综上所述：当△AMD为等腰三角形时，BP的长为

25

2

或5或45．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识，考查了分类讨论及转化的数学思想，有一定的综合性．