Question

求方程

1

x

+

1

y

=

1

1993

的整数解的个数

 

．

Answer 1

考点：非一次不定方程（组）

专题：

分析：利用已知条件将方程

1

x

+

1

y

=

1

1993

变形，整理为（x-1993）（y-1993）=1993²，分析两数相乘所有的可能，找出符合题意的解的个数．

解答：解：∵

1

x

+

1

y

=

1

1993

，
去分母得：1993（x+y）=xy，
∴（x-1993）（y-1993）=1993²，
又∵x与y是正整数，
∴x-1993，y-1993都是整数，且都大于-1993，
∵现在两整数之积为1993²，
∴这两整数为同号，且至少有一个的绝对值不小于1993，
∴x-1993与y-1993必都是1993²的正约数，
∴方程

1

x

+

1

y

=

1

1993

的正整数解（x，y）可写成（1993+d，1993+

19932

d

），这里d为1993²的正约数，
∵1993²的正约数有3个，
当x=3986时，y=3986，
当x=1994时，y=3974042，
当x=3974042时，y=1994，
∴其他数据都在不符合要求，符合要求的只有三组，
∴方程

1

x

+

1

y

=

1

1993

的正整数解构成的个数共3个．
故答案为：3．

点评：本题考查了非一次不定方程，解答本题的关键是将方程整理为整式方程后再进行分析解决，在解这类方程组，要认真分析题中各个方程的结构特征，选择恰当的方法进行求解，难度较大．