Question

【题目】已知△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，∠EDF=90°

（1）如图1，若E、F分别在AC、BC边上，猜想AE2、BF2和EF2之间有何等量关系，并证明你的猜想；

（2）若E、F分别在CA、BC的延长线上，请在图2中画出相应的图形，并判断（1）中的结论是否仍然成立（不作证明）

Answer 1

【答案】（1）结论：AE2+BF2=EF2 ,理由详见解析;(2) 结论不变, AE2+BF2=EF2,证明详见解析．

【解析】

（1）结论：AE2+BF2=EF2．如图1中，延长FD到M，使得DM=DF，连接AM，EM．首先证明△ADM≌△BDF，得到AM=FB，再证明△AEM是直角三角形，理由勾股定理即可解决问题．
（2）结论不变，证明方法类似（1）．

（1）结论：AE2+BF2=EF2 ．

理由：如图1中，延长FD到M，使得DM=DF，连接AM，EM．

在△ADM和△BDF中，

，

∴△ADM≌△BDF，

∴AM=BF，∠B=∠MAD，

∵∠C=90°，

∴∠B+∠CAB=90°，

∴∠CAB+∠MAD=90°，即∠EAM=90°，

∵∠EDF=90°，

∴ED⊥FM，∵DM=DF，

∴EM=EF，

在Rt△AEM中，∵AE2+AM2=EM2 ，

∴AE2+BF2=EF2 ．

（2）如图2中，结论不变．AE2+BF2=EF2

理由：延长FD到M，使得DM=DF，连接AM，EM．

在△ADM和△BDF中，

，

∴△ADM≌△BDF，

∴AM=BF，∠B=∠MAD，

∵∠C=90°，

∴∠B+∠CAB=90°，

∴∠CAB+∠MAD=90°，即∠EAM=∠CAM=90°，

∵∠EDF=90°，

∴ED⊥FM，∵DM=DF，

∴EM=EF，

在Rt△AEM中，∵AE2+AM2=EM2 ，

∴AE2+BF2=EF2 ．