Question

18．如图，△ABC与△ABD中，AD与BC相交于O点，∠1=∠2，请你添加一个条件（不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母），使AC=BD，并给出证明．
你添加的条件是：AD=BC；OC=OD；∠C=∠D；∠CAO=∠DBC．
证明：AC=BD．

Answer 1

分析 要使AC=BD，可以证明△ACB≌△BDA或者△ACO≌△BDO从而得到结论．

解答 解：添加条件例举：AD=BC；OC=OD；∠C=∠D；∠CAO=∠DBC等．
证明：（1）如果添加条件是AD=BC时，
∵BC=AD，∠2=∠1，AB=BA，
在△ABC与△BAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AD}\\{∠2=∠1}\\{AB=BA}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△BAD，
∴AC=BD；
（2）如果添加条件是OC=OD时，
∵∠1=∠2
∴OA=OB
∴OA+OD=OB+OD
∴BC=AD
又∵∠2=∠1，AB=BA
在△ABC与△BAD中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=AD}\\{∠2=∠1}\\{AB=BA}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△BAD，
∴AC=BD；
（3）如果添加条件是∠C=∠D时，
∵∠2=∠1，AB=BA，
在△ABC与△BAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠C=∠D}\\{∠2=∠1}\\{AB=BA}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△BAD，
∴AC=BD；
（4）如果添加条件是∠CAO=∠DBC时，
∵∠1=∠2，
∴∠CAO+∠1=∠DBC+∠2，
∴∠CAB=∠DBA，
又∵AB=BA，∠2=∠1，
在△ABC与△BAD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CAB=∠DBA}\\{AB=BA}\\{∠2=∠1}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△BAD，
∴AC=BD．
故答案为：AD=BC；OC=OD；∠C=∠D；∠CAO=∠DBC．

点评 本题考查了全等三角形的判定及性质；判定两个三角形全等的方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，本题已知一边一角，所以可以寻找夹这个角的另外一边或者是另外两个角．