Question

如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于D，点P在AB的延长线上，点Q在AB上，∠PDQ=60°，QD的延长线交AC的延长线于R（PB＜CR）．若AB=4，PR=7，则PQ=

 

．

Answer 1

考点：相似形综合题,正弦定理与余弦定理,全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：如图1，易证BD=CD=2，∠PBD=∠DCR=∠PDR=120°，从而证到△PBD∽△PDR∽△DCR，进而可得到∠3=∠4，∠5=∠6，PD²=PB•PR，PB•CR=BD•DC=4①．在PR上取两点E、F，使得PE=PB、RF=RC，如图2，从而可证到△BPD≌△EPD，则有BD=ED=2，∠PBD=∠PED=120°，∠DEF=60°．同理可得DF=DC=2，即可证到△DEF是等边三角形，则有EF=DE=2，从而有PE+RF=5即PB+RC=5②．解①和②就可求出PB的长，进而就可求出PD的长．易证△QBD∽△QDP，根据相似三角形的性质可得

S△QBD

S△QDP

=（

BD

DP

）²=

4

7

．由

S△QBD

S△QDP

=

QB

QP

（等高）可得

QB

QP

=

4

7

，再根据PB=QP-QB=1即可求出QP的长．

解答：解：如图1，

∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴∠ABC=∠ACB=60°，BD=CD=

1

2

BC=2，
∴∠PBD=∠DCR=120°．
∵∠QDP=60°，∴∠PDR=120°，
∴∠PBD=∠DCR=∠PDR=120°，
∴∠1+∠2=60°=∠1+∠3，
∴∠2=∠3，
∴△PBD∽△DCR，
∴

PB

DC

=

PD

DR

，
∴

PB

BD

=

PD

DR

．
∵∠PBD=∠PDR，
∴△PBD∽△PDR，
∴△PBD∽△PDR∽△DCR，
∴∠3=∠4，∠5=∠6，

BP

PD

=

PD

PR

，

PB

DC

=

BD

CR

，
∴PD²=PB•PR，PB•CR=BD•DC=4．
在PR上取两点E、F，使得PE=PB、RF=RC，如图2，

在△BPD和△EPD中，

PB=PE ∠3=∠4 PD=PD

，
∴△BPD≌△EPD（SAS），
∴BD=ED=2，∠PBD=∠PED=120°，
∴∠DEF=60°．
同理可得；DF=DC=2，
∴ED=FD，
∴△DEF是等边三角形，
∴EF=DE=2．
∵PR=7，∴PE+RF=5，
∴PB+RC=5．
∵PB•CR=4，PB＜CR，
∴PB=1，RC=4，
∴PD²=PB•PR=1×7=7，
∴PD=

7

．
∵∠BQD=∠DQP，∠QBD=∠QDP=60°，
∴△QBD∽△QDP，
∴

S△QBD

S△QDP

=（

BD

DP

）²=

4

7

．
又∵

S△QBD

S△QDP

=

QB

QP

（等高），
∴

QB

QP

=

4

7

，
∴QB=

4

7

QP，
∴PB=QP-QB=QP-

4

7

QP=

3

7

QP=1，
∴QP=

7

3

．
故答案为：

7

3

．

点评：本题主要考查了等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，综合性强，难度大．解决本题的关键是通过构造全等三角形得到PB+CR=5，由△PBD∽△DCR得到PB•CR=4，进而求出PB的长．