Question

【题目】如图1，已知二次函数(为常数，)的图象过点和点，函数图象最低点的纵坐标为．直线的解析式为

求二次函数的解析式；

直线沿轴向右平移，得直线，与线段相交于点，与轴下方的抛物线相交于点，过点作轴于点，把沿直线折叠，当点恰好落在抛物线上点时(图求直线的解析式；

在的条件下，与轴交于点，把绕点逆时针旋转得到，P为上的动点，当为等腰三角形时，求符合条件的点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）满足条件的点坐标为或或

【解析】

（1）先得出抛物线的顶点坐标，从而设出抛物线的顶点式，再将代入求解即可；

（2）设直线的解析式为，从而可得点B、的坐标，再根据翻转的性质可得四边形是矩形，然后根据对称性得出点E、C的坐标，最后根据点C、的纵坐标相等列出等式求解即可；

（3）先根据直线的解析式得出点B、N的坐标，再根据旋转的性质得出点、的坐标，然后根据等腰三角形的定义，分三种情况，分别根据两点之间的距离公式求解即可．

（1）由题意得：抛物线的顶点坐标为，即

由此可设抛物线的解析式为

把代入得，解得

则抛物线的解析式为，即；

（2）设直线沿轴向右平移m个单位长度，则直线的解析式为，点B的坐标为

由题意得：，四边形是矩形

点C与点均在抛物线上

点C与点关于抛物线的对称轴对称

点E与点B关于抛物线的对称轴对称

点B的坐标为

点E的坐标为，点的坐标为

点C的坐标为

则

解得或（不符题意，舍去）

故直线的解析式为；

（3）由（2）可知，直线的解析式为，点B的坐标为

令得，则点N的坐标为

是等腰直角三角形

把绕点逆时针旋转得到

则点在直线上，点在直线上，且，

点的坐标为，点的坐标为

设

则

由等腰三角形的定义，分以下三种情况：

①当时，即

则

解得

此时点P的坐标为

②当时，即

则

解得

此时点P的坐标为或

③当时，即

则

整理得，此方程的根的判别式，则此方程没有实数根

即此时没有满足条件的点P

综上，满足条件的点坐标为或或

．