【题目】(操作发现)如图(1),在△OAB和△OCD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=45°,连接AC,BD交于点M.
①AC与BD之间的数量关系为 ;
②∠AMB的度数为 ;
(类比探究)如图(2),在△OAB和△OCD中,∠AOB=∠COD=90°,∠OAB=∠OCD=30°,连接AC,交BD的延长线于点M.请计算的值及∠AMB的度数;
(实际应用)如图(3),是一个由两个都含有30°角的大小不同的直角三角板ABC、DCE组成的图形,其中∠ACB=∠DCE=90°,∠A=∠D=30°且D、E、B在同一直线上,CE=1,BC= ,求点A、D之间的距离.
【答案】【操作发现】①AC=BD;②∠AMB=45°;【类比探究】,∠AMB=90°;【实际应用】4或5
【解析】
操作发现:如图(1),证明△COA≌△DOB(SAS),即可解决问题.
类比探究:如图(2),证明△COA∽△ODB,可得,∠MAK=∠OBK,已解决可解决问题.
实际应用:分两种情形解直角三角形求出BE,再利用相似三角形的性质解决问题即可.
解:操作发现:如图(1)中,设OA交BD于K.
∵∠AOB=∠COD=45°,
∴∠COA=∠DOB,
∵OA=OB,OC=OD,
∴△COA≌△DOB(SAS),
∴AC=DB,∠CAO=∠DBO,
∵∠MKA=∠BKO,
∴∠AMK=∠BOK=45°,
故答案为:AC=BD,∠AMB=45°
类比探究:如图(2)中,
在△OAB和△OCD中,∵∠AOB=∠COD=90°,∠OAB=∠OCD=30°,
∴∠COA=∠DOB,OC=OD,OA=OB,
∴,
∴△COA∽△ODB,
∴,∠MAK=∠OBK,
∵∠AKM=∠BKO,
∴∠AMK=∠BOK=90°.
实际应用:如图3﹣1中,作CH⊥BD于H,连接AD.
在Rt△DCE中,∵∠DCE=90°,∠CDE=30°,EC=1,
∴∠CEH=60°,
∵∠CHE=90°,
∴∠HCE=30°,
∴EH=EC=,
∴CH=,
在Rt△BCH中,BH=,
∴BE=BH﹣EH=4,
∵△DCA∽△ECB,
∴AD:BE=CD:EC=,
∴AD=4.
如图3﹣2中,连接AD,作 CH⊥DE于H.
同法可得BH=,EH=,
∴BE=+=5,
∵△DCA∽△ECB,
∴AD:BE=CD:EC=,
∴AD=5.
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【题目】在△ABC中,AB=BC=2,∠ABC=120°,将△ABC绕点B顺时针旋转角α(0°<α<90°)得△A1BC1,A1B交AC于点E,A1C1分别交AC、BC于D、F两点.
(1)如图1,观察并猜想,在旋转过程中,线段BE与BF有怎样的数量关系?并证明你的结论;
(2)如图2,当α=30°时,试判断四边形BC1DA的形状,并说明理由.
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【题目】如图,已知△ABC的顶点A、B、C的坐标分别是A(-1,-1)、B(-4,-3)、C(-4,-1).
(1)将△ABC向右平移三个单位后得到则_________;
(2)画出△ABC关于原点O中心对称的图形.
(3)将△ABC绕原点A按顺时针方向旋转90°后得到画出则的坐标为_________,的坐标为_________.
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【题目】如图,已知△ABC,任取一点O,连AO,BO,CO,分别取点D,E,F,使OD=AO,OE=BO,OF=CO,得△DEF,有下列说法:
①△ABC与△DEF是位似图形;②△ABC与△DEF是相似图形;
③△DEF与△ABC的周长比为1:3;④△DEF与△ABC的面积比为1:6.
则正确的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
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【题目】如图,在中,,在内有三个正方形,且这三个正方形都有一边在上,都有一个顶点在上,点在上,第一个正方形边长,第二个正方形边长,那么第三个正方形的边长为______.
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【题目】如图所示为某种型号的台灯的横截面图,已知台灯灯柱AB长30cm,且与水平桌面垂直,灯臂AC长为10cm,灯头的横截面△CEF为直角三角形,当灯臂AC与灯柱AB垂直时,沿CE边射出的光线刚好射到底座B点.若不考虑其它因素,则该台灯在桌面可照亮的宽度BD的长为_____cm.
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【题目】如图,直线y=ax+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点,与双曲线y=(x>0)相交于点P,PC⊥x轴于点C,且PC=2,点A的坐标为(﹣2,0).
(1)求双曲线的解析式;
(2)若点Q为双曲线上点P右侧的一点,且QH⊥x轴于H,当以点Q、C、H为顶点的三角形与△AOB相似时,求点Q的坐标.
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【题目】如图,菱形OABC的顶点O在坐标原点,顶点A在x轴上,∠B=120°,OA=2,将菱形OABC绕原点顺时针旋转105°至OA′B′C′的位置,则点B′的坐标为( )
A. (,) B. (,) C. (2,-2) D. (,)
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