Question

如图，拋物线y=-

1

2

x²+4x-6与x轴相交点A、B，与y轴相交于点C，拋物线对称轴与x轴相交于点M．
（1）求△ABC的面积；
（2）若P是x轴上方的抛物线上的一个动点，求点P到直线BC的距离的最大值．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：（1）先令y=0求出AB的坐标，再令x=0求出C的坐标，根据三角形的面积公式即可得出结论；
（2）用待定系数法求出直线BC的解析式，再设出过点P且与直线垂直的直线方程，再根据此直线与抛物线有交点求出b的最大值即可．

解答：解：（1）∵令y=0，则x₁=2，x₂=6，
∴A（2，0），B（6，0）．
∵令x=0，则y=-6，
∴C（0，-6），
∴S_△ABC=

1

2

×（6-2）×6=12；

（2）设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵B（6，0），C（0，-6），
∴

6k+b=0 b=-6

，解得

k=1 b=-6

，
∴直线BC的解析式为y=x-6．
设P（m，-

1

2

m²+4m-6），
在S_△PCB=

1

2

×[（-

1

2

m²+4m-6）-（m-6）]×6=-

3

2

m²+9m=-

3

2

（m-3）²+

27

2

，
∴当m=3时，S最大=

27

2

，
∵BC=6

2

，
∴PN=

2S

BC

=

9

4

2

．

点评：本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，熟知坐标轴上点的坐标特点是解答此题的关键．