Question

6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3．
（1）求作⊙P，使圆心P在BC上，⊙P与AC、AB都相切；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）求⊙P的半径．

Answer 1

分析 （1）作∠BAC的平分线交BC于P点，然后以点P为圆心，PC为半径作圆即可得到⊙P；
（2）设⊙P与AB相切于点D，连接PD，则PD⊥AB，如图，先判断AC为⊙P的切线，则根据切线长定理得到AD=AC=4，所以BD=AB-AD=1，再△BPD∽△BAC，然后利用相似比计算出PD即可．

解答 解：（1）如图，⊙P为所作；

（2）设⊙P与AB相切于点D，连接PD，则PD⊥AB，如图，
∵∠ACP=90°，
∴AC为⊙P的切线，
∴AD=AC=4，
∴BD=AB-AD=1，
∵∠PDB=∠ACB=90°，∠B=∠B，
∴△BPD∽△BAC，
∴$\frac{PD}{AC}$=$\frac{BD}{BC}$，即$\frac{PD}{4}$=$\frac{1}{3}$，解得PD=$\frac{4}{3}$，
即⊙P的半径为$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了切线的性质．