Question

12．己知：一直线经过P（-2，4），它与双曲线y=-$\frac{2}{x}$交于M、N两点，且M、N两点关于原点成中心对称．
（1）求直线的解析式及M．N两点的坐标；
（2）若抛物线y=ax²+bx+c经过M、N两点，求证：抛物线与x轴一定有两个不同的交点；
（3）设抛物线与x轴交于点A、点B（A在B的左边），与y轴交于点C，连结AC、BC．
①是否有满足tan∠CAB=tan∠CBA的抛物线存在？
②己知tan∠CAB+tan∠CBA=3，求抛物线的解析式．

Answer 1

分析 （1）根据题意设直线为y=kx，代入P（-2，4），根据待定系数法即可求得直线的解析式，联立方程，解方程即可求得M、N的坐标；
（2）把点M、N的坐标代入解析式，用a表示b、c，根据判别式判断抛物线与x轴的交点情况；
（3）①根据tan∠CAB=tan∠CBA，得到OA和OB的关系，进行判断即可；
②分两种情况，根据根与系数的关系得出关于a的方程，解方程求得a，从而求得解析式．

解答 解：（1）∵M、N两点关于原点成中心对称，
∴直线经过原点，
∴设直线为y=kx，
∵经过P（-2，4），
∴4=-2k，解得k=-2，
∴y=-2x，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x}\\{y=-\frac{2}{x}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴直线解析式为y=-2x，M．N两点的坐标为（-1，2）和（1，-2）；
（2）把M、N的坐标代入y=ax²+bx+c得，
$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=2}\\{a+b+c=-2}\end{array}\right.$，
解得c=-a，b=-2，
∴解析式为：y=ax²-2x-a，
△=4+4a²＞0，
∴抛物线一定与x轴有两个不同的交点；
（2）∵tan∠CAB=tan∠CBA，
∴AC=BC，
∴OA=OB，
x₁+x₂=$\frac{2}{a}$=0，无解，
∴抛物线不存在．
（3）∵tan∠CAB+tan∠CBA=3，
当a＞0时，∵x₁x₂=-a＜0，
∴x₁＜0，x₂＞0，
∵tan∠CAB+tan∠CBA=3，
∴$\frac{a}{-{x}_{1}}$+$\frac{a}{{x}_{2}}$=3，
∴$\frac{a（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$=3，
∵x₁x₂=-a，x₁+x₂=$\frac{2}{a}$
∴x₁-x₂=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-{4}_{1}x{x}_{2}}$=$\sqrt{（\frac{2}{a}）^{2}-4×（-a）}$=$\frac{2}{a}$$\sqrt{1+{a}^{2}}$，
∴$\frac{2\sqrt{1+{a}^{3}}}{-a}$=3，
∴2$\sqrt{1+{a}^{3}}$=-3a＜0，
∴不存在a＞0这种情况；
当a＜0时，∵x₁x₂=-a＞0，x₁+x₂=$\frac{2}{a}$＜0，
∴x₁＜0，x₂＜0，
∵tan∠CAB+tan∠CBA=3，
∴$\frac{a}{{x}_{1}}$+$\frac{a}{{x}_{2}}$=3，
∴$\frac{a（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$=3，
∵x₁+x₂=$\frac{2}{a}$，
∴$\frac{2}{a}$=-3，
∴a=-$\frac{2}{3}$；
故抛物线的解析式为y=-$\frac{2}{3}$x²-2x+$\frac{2}{3}$．

点评 本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，抛物线与x轴的交点，掌握关于原点对称的点的坐标的关系和根的判别式是解题的关键，注意数形结合思想在解题中的运用．