如图1.P(m.n)是抛物线上任意一点.是过点且与x轴平行的直线.过点P作直线PH⊥l.垂足为H. PH交x轴于Q． (1)[探究] ① 填空:当m=0时.OP= .PH= ,当m=4时.OP= .PH= , ② 对任意m.n.猜想OP与PH的大小关系.并证明你的猜想． (2)[应用] ① 当OP=OH.且m≠0时.求P点的坐标, ②如图2.已知线段AB=6.端点A.B在抛物线上滑� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图1，P（m，n）是抛物线上任意一点，是过点（0，﹣2）且与x轴平行的直线，过点P作直线PH⊥l，垂足为H， PH交x轴于Q．

（1）【探究】

（容易题）① 填空：当m=0时，OP=　　，PH=　　；当m=4时，OP=　　，PH=　　；

（中等题）② 对任意m，n，猜想OP与PH的大小关系，并证明你的猜想．

（2）【应用】

（中等题）① 当OP=OH，且m≠0时，求P点的坐标；

（稍难题）②如图2，已知线段AB=6，端点A，B在抛物线上滑动，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值．

解：（1）① 填空：当m=0时，OP=　1　，PH=　1　；当m=4时，OP=　5　，PH=　5　；

② 猜想：OP=PH．

证法一：∵P在二次函数上，∴﹣1，即.

∵，

∴，∴OP=PH．

证法二：∵P在二次函数上，∴设P（m，﹣1），

∵△OPQ为直角三角形，

∴OP

PH=﹣（﹣2）=，

∴OP=PH．

（2）①依题意，由（1）知PH=OP，∴△OPH是等边三角形，∠OHP=60°，

∵△OQH为直角三角形，∴∠HOQ=30°

解法一：不妨设m＞0，在Rt△OHQ中，，∴，解得 .

根据抛物线的对称性，

∴满足条件的点P的坐标为（，2）或（-，2）．

解法二：在Rt△OHQ中，OH=2HQ=2×2=4，

由PH=OH，∴x²+1=4，解得：x=±2，∴=×12-1=2，

∴满足条件的点P的坐标为（，2）或（-，2）．

②如图2，分别过点A、C作直线l的垂线，垂足分别为C、D，由（1）知OB=BD，OA=AC.

当AB不过O点时，连接OA，OB，

在△AOB中，∵OB+OA＞AB，∴BD+AC＞AB．

当AB过O点时，∵OB+OA=AB，∴BD+AC=AB．

综上所述，BD+AC≥AB，∵AB=6，∴BD+AC≥6，

即A，B两点到直线l的距离之和的最小值为6．

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