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【题目】(定义学习)

定义:如果四边形有一组对角为直角,那么我们称这样的四边形为对直四边形”.

(判断尝试)

A.矩形;B.菱形;C.正方形中;一定是对直四边形的是______.(填字母序号)

(操作探究)

在菱形ABCD中,AB=2,∠B=60°AEBC于点E,请用尺规作图法在边ADCD上各找一点F,使得由点AECF组成的四边形为对直四边形,连接EF,并直接写出EF的长.(保留作图痕迹,不写作法)

(1)当点F在边AD上时.

(2)当点F在边CD上时.

(实践应用)

某加工厂有一批四边形板材,形状如图所示,已知AB=3米,AD=1米,∠C=45°,∠A=B=90°.现根据客户要求,需将每张四边形板材进一步分割成两个等腰三角形板材和一个对直四边形板材,且这两个等腰三角形的腰长相等,要求充分利用材料且无剩余,求分割后得到的等腰三角形的腰长.

【答案】【判断尝试】AC;【操作探究】(1)图见解析,EF=2(2)图见解析,EF=;【实践应用】等腰三角形的腰长为米或2.

【解析】

判断尝试:直接根据对直四边形定义可得:矩形和正方形是对直四边形

操作探究:

(1)F在边AD上时,如图1,作CFAD,得矩形AECF,根据勾股定理可得EF的长;

(2)F在边CD上时,如图2,作AFCD,证明AEF是等边三角形,可得EF的长;

实践应用:

存在两种情况:①如图3,矩形ABEDFDC的中点,②如图4,∠A=BFD=90°EBC的中点,根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得结论.

:【判断尝试】∵矩形的四个内角都是直角,正方形的四个内角都是直角,

∴矩形和正方形的对角为直角,对直四边形

故填:AC.

操作探究:

(1)当点F在边AD上时,如图1,

由题意可得∠AEC=AFC=90°,

RtABE,B=60°,

∴∠BAE=30°.

AB=BC=2,

BE=1,

CE=2-1=1.

ADBC,AEBC,CFAD,

AE=CF==,

EF==2.

(2)当点F在边CD上时,如图2,

由题意可得AFCD.

∵四边形ABCD是菱形,

AB=AD,B=D=60°.

∵∠AEB=AFD=90°,

∴△ABE≌△ADF(AAS),

AE=AF.

∵∠BAE=DAF=30°,

∴∠EAF=120°-30°-30°=60°,

∴△AEF是等边三角形,

EF=AE=.

实践应用:

①如图3,在矩形ABED中,FDC的中点,

RtDEC中,∠C=45°,

∴△DEC是等腰直角三角形,

DE=EC=3

DC=3

DF=CF=EF=,即此时分割后得到的等腰三角形的腰长为米;

②如图4,∠A=BFD=90°EBC的中点,

同理得△BFC是等腰直角三角形.

BC=4

EF=BE=CE=2,即此时分割后得到的等腰三角形的腰长为2.

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