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【题目】抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(5,0)、B(-1,0)两点,过点A作直线AC⊥x轴,交直线y=2x于点C.

(1)求该抛物线的解析式;

(2)求点A关于直线y=2x的对称点A′的坐标,判定点A′是否在抛物线上,并说明理由;

(3)点P是抛物线上一动点,过点P作y轴的平行线,交线段CA′于点M,是否存在这样的点P,使四边形PACM是平行四边形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】1.(2)点A/的坐标为(﹣3,4).点A/在该抛物线上.(3)点P运动到时,四边形PACM是平行四边形.

【解析】试题分析:(1)将点AB的坐标代入抛物线的解析式,得到关于bc的二元一次方程组,从而可解得bc的值;

2)过点B′B′E⊥x轴于EBB′OC交于点F.由平行于y轴的直线上各点横坐标相同可知点C的横坐标为2,将x=2代入直线y=﹣2x的解析式可求得点C的坐标BB′关于直线y=﹣2x对称,在Rt△ABC中,由勾股定理可求得OC=5,然后利用面积法可求得BF=2.由轴对称图形的性质可知B′F=FB=4.由同角的余角相等可证明∠B′BE=∠BCF,从而可证明Rt△B′EB∽Rt△OBC,由相似三角形的性质可求得B′E=4BE=8,故此可求得点B′的坐标为(﹣3﹣4),然后可判断出点B′在抛物线上;

3)先根据题意画出图形,然后利用待定系数法求得B′C的解析式,设点P的坐标为(x+x+),则点D为(x),由平行四边形的判定定理可知当PD=BC时.四边形PBCD是平行四边形,最后根据PD=BC列出关于x的方程即可求得点P的坐标

解:(1∵y=x2+bx+cx轴交于A﹣10),B50)两点,

解得:

抛物线的解析式为y=﹣+x+

2)如图,过点B′B′E⊥x轴于EBB′OC交于点F

∵BC⊥x轴,

C的横坐标为5

C在直线y=﹣2x上,

∴C5﹣10).

BB′关于直线y=﹣2x对称,

∴B′F=BF

Rt△ABC中,由勾股定理可知:OC===5

∵SOBC=OCBF=OBBC

∴5×BF=5×10

∴BF=2

∴BB′=4

∵∠B′BE+∠B′BC=90°∠BCF+∠B′BC=90°

∴∠B′BE=∠BCF

∵∠B′EB=∠OBC=90°

∴Rt△B′EB∽Rt△OBC

,即

∴B′E=4BE=8

∴OE=BE﹣OB=3

B′的坐标为(﹣3﹣4).

x=﹣3时,y=﹣×﹣32+=﹣4

所以,点B′在该抛物线上.

3)存在.

理由:如图所示:

设直线B′C的解析式为y=kx+b,则,解得:

直线B′C的解析式为y=

设点P的坐标为(x+x+),则点D为(x).

∵PD∥BC

要使四边形PBCD是平行四边形,只需PD=BC.又点D在点P的下方,

=10..

解得x1=2x2=5(不合题意,舍去).

x=2时,=

当点P运动到(2)时,四边形PBCD是平行四边形.

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x

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﹣1

0

1

2

y

0

4

6

6

4

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