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【题目】如图,抛物线Ly=﹣xt)(xt+4)(常数t0)与x轴从左到右的交点为B,A,过线段OA的中点M作MP⊥x轴,交双曲线y= (k>0,x>0)于点P,且OAMP=12,

(1)求k值;

(2)当t=1时,求AB的长,并求直线MP与L对称轴之间的距离;

(3)把L在直线MP左侧部分的图象(含与直线MP的交点)记为G,用t表示图象G最高点的坐标;

(4)设L与双曲线有个交点的横坐标为x,且满足4x6,通过L位置随t变化的过程,直接写出t的取值范围。

【答案】(1)6;(2)AB=4;(3)(, +t);(4t=55t87t8+.

【解析】

1)设点Pxy),只要求出xy即可解决问题.

2)先求出AB坐标,再求出对称轴以及点M坐标即可解决问题.

3)根据对称轴的位置即可判断,当对称轴在直线MP左侧,L的顶点就是最高点,当对称轴在MP右侧,LMP的交点就是最高点.

4)画出图形求出CD两点的纵坐标,利用方程即可解决问题.

(1)设点P(x,y),则MP=y,由OA的中点为M可知OA=2x,代入OAMP=12

得到2xy=12,即xy=6.

k=xy=6.

(2)t=1,y=0,0= (x1)(x+3)

解得x=13

∵点B在点A左边,

B(3,0),A(1,0).

AB=4

L是对称轴x=1,M(,0)

MPL对称轴的距离为.

(3)A(t,0),B(t4,0)

L的对称轴为x=t2

又∵MPx=

t2,t4,顶点(t2,2)就是G的最高点。

t>4,LMP的解得(, +t)就是G的最高点.

(4)结论:5t878+.

理由:对双曲线,4x6,1y,L与双曲线在C(4, ),D(6,1)之间的一段有个交点.

①由= (4t)(4t+4)解得t=57.

②由1= (4t)(4t+4)解得t=88+.

t的逐渐增加,L的位置随着A(t,0)向右平移,如图所示,

t=5时,L右侧过过点C.

t=8<7,L右侧过点D,5t8.

8<t<7时,L右侧离开了点D,而左侧未到达点C,即L与该段无交点,舍弃.

t=7,L左侧过点C. t=8+,L左侧过点D,7t8+.

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