Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx﹣3与双曲线的两个交点为A，B，其中A（﹣1，m）.

（1）求m的值及直线的表达式；

（2）若点M为x轴上一个动点，且△AMB为直角三角形，直接写出满足条件的点M的个数.

Answer 1

【答案】（1）m＝﹣4，y＝x﹣3；（2）点M有4个

【解析】

（1）先利用待定系数法求出点A坐标，进而代入双曲线解析式中即可得出结论；

（2）先求出点B的坐标，分三种情况，用勾股定理建立方程即可求出结论.

解：（1）把A（﹣1，m）代入得

∴m＝﹣4

把A（﹣1，﹣4）代入y＝kx﹣3

∴﹣4＝﹣k﹣3

∴k＝1

∴y＝x﹣3，

（2）由（1）知，直线AB的解析式为y＝x﹣3①，

∵双曲线的解析式为②，

联立①②解得，或，

∴A（﹣1，﹣4），B（4，1），

设点M的坐标为（m，0），

∴AB2＝50，AM2＝（m+1）2+16，BM2＝（m﹣4）2+1

∵△AMB是直角三角形，

∴①当∠AMB＝90°时，AM2+BM2＝AB2，

∴50＝（m+1）2+16+（m﹣4）2+1，

∴，

∴M（，0）或（，0）；

②当∠BAM＝90°时，AB2+AM2＝BM2，

∴50+（m+1）2+16＝（m﹣4）2+1，

∴m＝﹣5，

∴M（﹣5，0）；

③当∠ABM＝90°时，AB2+BM2＝AM2，

∴50+（m﹣4）2+1＝（m+1）2+16，

∴m＝5，

∴M（5，0）

∴满足条件的点M有4个.