Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个根，且OA＞OB．

（1）求A、B的坐标．

（2）求证：射线AO是∠BAC的平分线．

（3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出F点的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（0，4），B（﹣3，0）（2）射线AO是∠BAC的平分线（3）满足条件的点有四个：F1（3，8）；F2（﹣3，0）；F3（﹣，﹣）；F4（﹣， ）．

【解析】试题分析：（1）先解出一元二次方程，即得出OA，OB，即可得出点A，B坐标；

（2）先得出BC=AD=6，求出OC，再判断出△AOB≌△AOC即可；

（3）根据菱形的性质，分AC与AF是邻边并且点F在射线AB上与射线BA上两种情况，以及AC与AF分别是对角线的情况分别进行求解计算．

试题解析：解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个根，∴x=3或x=4，∵OA＞OB，∴OA=4，OB=3，∴A（0，4），B（﹣3，0）；

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=6，∵B（﹣3，0），∴C（3，0），∴OC=OB，在△AOB和△AOC中，∵OB=OC，∠AOB=∠AOC，AO=AO，∴△AOB≌△AOC，∴∠BAO=∠CAO，∴射线AO是∠BAC的平分线

（3）∵OB=OC=3，∴AO平分∠BAC．

①AC、AF是邻边，点F在射线AB上时，AF=AC=5，所以点F与B重合，即F（﹣3，0）；

②AC、AF是邻边，点F在射线BA上时，M应在直线AD上，且FC垂直平分AM，点F（3，8）．

③AC是对角线时，做AC垂直平分线L，AC解析式为y=﹣x+4，直线L过（，2），且k值（平面内互相垂直的两条直线k值乘积为﹣1），L解析式为，联立直线L与直线AB求交点，∴F（﹣，﹣）；

④AF是对角线时，过C做AB垂线，垂足为N，

根据等积法求出CN=，勾股定理得出，AN=，作A关于N的对称点即为F，AF=，过F做y轴垂线，垂足为G，FG=，∴F（﹣， ）．

综上所述，满足条件的点有四个：F1（3，8）；F2（﹣3，0）；F3（﹣，﹣）；F4（﹣， ）．