Question

【题目】如图，⊙O半径为1，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，⊙O外的一点D在直线AB上，若AC=，OB=BD．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）求阴影部分的面积．（结果保留π）

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2) ．

【解析】

（1）连接OC，则得出∠COD＝2∠CAO＝2∠D＝60°，可求得∠OCD＝90°，可得出结论；

（2）可利用△OCD的面积扇形BOC的面积求得阴影部分的面积．

（1）连接OC，CB，则∠COD=2∠CAD，

∵⊙O半径为1，AC=，

∴AB=2，BC=1，

∴∠CAD=30°，

∴∠COD=60°，

∵OB=BD，

∴BC=BD=OB=1，

∴∠CBO=60°，

∴∠DCB=∠BDC=30°，

∴∠OCD=180°﹣60°﹣30°=90°，

∴OC⊥CD，

即CD是⊙O的切线；

（2）在Rt△OCD中，OC=1，OD=2，由勾股定理可求得CD=，

所以S△OCD=OCCD=×1×=，

因为∠COD=60°，

所以S扇形COB=，

所以S阴影=S△OCD﹣S扇形COB=﹣．