Question

18．已知二次函数y=x²-2（k+1）x+k²-2k-3与x轴有两个交点．
（1）求k的取值范围；
（2）当k取最小的整数时，求二次函数的解析式；
（3）将（2）中求得的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象．请你画出这个新图象，并求出新图象与直线y=x+m有三个不同公共点时m的值．

Answer 1

分析 （1）由抛物线与x轴有两个交点可知△＞0，从而可求得k的取值范围；
（2）先求得k的最小整数值，从而可求得二次函数的解析式；
（3）先根据函数解析式画出图形，然后结合图形找出抛物线与x轴有三个交点的情形，最后求得直线的解析式，从而可求得m的值．

解答 解：（1）∵抛物线与x轴有两个交点，
∴△=4（k+1）²-4（k²-2k-3）=16k+16＞0．
∴k＞-1．
∴k的取值范围为k＞-1．
（2）∵k＞-1，且k取最小的整数，
∴k=0．
∴y=x²-2x-3=（x-1）²-4．
（3）翻折后所得新图象如图所示．

平移直线y=x+m知：直线位于l₁和l₂时，它与新图象有三个不同的公共点．
①当直线位于l₁时，此时l₁过点A（-1，0），
∴0=-1+m，即m=1． 
②∵当直线位于l₂时，此时l₂与函数y=-x²+2x+3（-1≤x≤3）的图象有一个公共点
∴方程x+m=-x²+2x+3，即x²-x-3+m=0有两个相等实根．
∴△=1-4（m-3）=0，即$m=\frac{13}{4}$．
综上所述，m的值为1或$\frac{13}{4}$．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，根据题意画出如图，找出新图象与直线y=x+m有三个不同公共点的条件是解题的关键．