Question

如图：PA、PC分别是△ABC外角∠MAC与∠NCA的平分线，并交于点P，PD⊥BM于点D，PF⊥BN于点F．
（1）求证：BP是∠MBN的平分线；
（2）请你在BM、BN上分别找出点G、H，使得△PGH的周长最小．（温馨提示：不要求尺规作图，但必须保留作图痕迹，不用证明）

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题,角平分线的性质

专题：

分析：（1）过点P作PE⊥AC于点E，已知AP平分∠MAC，PD⊥BM，根据角平分线上点到角两边的距离相等得到DP=EP，同理可得PE=PF，从而可推出PD=PF，则点P在∠MBN的角平分线上，即PB平分∠MBN．
（2）作出P关于BM的对称点P′，关于BN的对称点P″，连接P′P″交BM、BN于G、H，此时△PGH的周长最小．

解答：（1）证明：如图1，过点P作PE⊥AC于点E．
∵AP平分∠MAC，PD⊥BM，
∴DP=EP（角平分线的性质）．
同理PE=PF，
∴PD=PF，又PD⊥BM，PF⊥BN，
∴P在∠MBN的角平分线上，
∴PB平分∠MBN．
（2）解：如图所示：

点评：此题考查了三角形的角平分线的性质及三角形外角性质以及轴对称-最短路线问题，角的平分线的性质是本题的重点．