Question

已知AB∥CD，点E、F分别在AB、CD上，线段EF可左右平移．

（1）如图1，当点E与点A重合时，求证：∠AFD=∠FAC+∠ACF；
（2）将线段EF向左平移，当点E在A左侧，点F在点C右侧时（如图2），作EP平分∠AEF，CP平分∠ACD，两条角平分线交于点P．若∠AEF=m°，∠ACD=n°．求∠EPC的度数（用含m、n的代数式表示）
（3）将线段EF向右平移，当点E在点A右侧，点F在点C右侧，∠AEF和∠ACD的平分线交于点Q时（如图3），直接写出∠EAC、∠EFC与∠EQC的数量关系式．

Answer 1

考点：平行线的性质,列代数式,平移的性质

专题：

分析：（1）根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得答案；
（2）根据角平分线的性质，可得∠AEP、∠PCF的度数，根据平行线的性质，可得∠EPG、∠CPG的度数，根据角的和差，可得答案；
（3）根据角平分线的性质，可得∠ACF、∠AEF，根据角平分线的性质，可得∠QCF、∠AEQ，根据平行线的性质，可得∠CQG、∠EQG，根据角的和差，可得答案．

解答：（1）证明：如图1，
，
∵∠AFD是△AFC的外角，
∴∠AFD=∠FAC+∠ACF（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）；
（2）解：如图2，
，
作GP∥AB∥CD，
由EP平分∠AEF，CP平分∠ACD，两条角平分线交于点P，
得∠AEP=

1

2

∠AEF=

1

2

m°，∠PCF=

1

2

∠ACF=

1

2

n°．
由GP∥AB∥CD，得
∠EPG=∠AEP=

1

2

m°，∠CPG=∠PCF=

1

2

n°．
由角的和差，得
∠EPC=∠EPG+∠CPG=

1

2

（m+n）°；
（3）解：如图3，

作GQ∥AB∥CD，
由AB∥CD，得∠ACF=180°-∠EAC，∠AEF=180°-∠EFC．
由角平分线的性质，得
∠QCF=

1

2

∠ACF=90°-

1

2

∠EAC，∠AEQ=

1

2

∠AEF=90°-

1

2

∠EFC．
由GQ∥AB∥CD，得
∠CQG=∠QCF=90°-

1

2

∠EAC，∠EQG=180°-∠AEQ=90°+

1

2

∠EFC．
由角的和差，得
∠EQC=∠CQG+∠EQG=90°-

1

2

∠EAC+90°+

1

2

∠EFC
即∠EQC+

1

2

∠EAC-

1

2

∠EFC=180°．

点评：本题考查了平行线的性质，（1）利用了三角形的外角的性质；（2）利用了角平分线的性质，平行线的性质；（3）利用了平行线的性质，角平分线的性质，平行线的性质．