Question

【题目】（为方便答题，可在答题卡上画出你认为必要的图形）

在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4，D，E分别是边AB，AC的中点．若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰RtRt△AD1E1，设旋转角为α（0＜α≤180°），记直线BD1与CE1的交点为P．

（1）如图1，当α=90°时，线段BD1的长等于 ，线段CE1的长等于 ；（直接填写结果）

（2）如图2，当α=135°时，求证：BD1=CE1 ，且BD1⊥CE1 ；

（3）求点P到AB所在直线的距离的最大值．（直接写出结果）

Answer 1

【答案】（1）BD1=，CE1=；（2）见解析；（3）1 +

【解析】

（1）结合图1，根据勾股定理可求得BD1、CE1；

（2）根据旋转变换的性质可证明三角形全等，然后由直角三角形的性质可求得结论；

（3）由旋转变换的性质可知，四边形APD1E1为正方形时，距离最大．

解：（1）解：∵∠A=90°，AC=AB=4，D，E分别是边AB，AC的中点，
∴AE=AD=2，
∵等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，设旋转角为α（0＜α≤180°），
∴当α=90°时，AE1=2，∠E1AE=90°，

;

（2）证明：当α=135°时，如下图：

由旋转可知∠D1AB=E1AC=135°

又AB=AC，AD1=AE1，

∴△D1AB ≌ △E1AC

∴BD1=CE1且 ∠D1BA=E1CA

设直线BD1与AC交于点F，有∠BFA=∠CFP

∴∠CPF=∠FAB=90°，

∴BD1⊥CE1；

（3）解：如图3，作PG⊥AB，交AB所在直线于点G，

∵D1，E1在以A为圆心，AD为半径的圆上，
当BD1所在直线与⊙A相切时，直线BD1与CE1的交点P到直线AB的距离最大，
此时四边形AD1PE1是正方形，PD1=2，则，
故∠ABP=30°，
则，
故点P到AB所在直线的距离的最大值为：．