Question

已知四边形ABCD为凸四边形，P、Q在AC上，且AP=PQ=QC，连接DP、DQ并延长交AB、BC于点E、F，且S_△ADE=S_△CDF=

1

4

S_{四边形ABCD}，求证：四边形ABCD是平行四边形．

Answer 1

考点：平行四边形的判定

专题：证明题

分析：首先连接BD，BQ，BP，EF，过E作AC垂线交AC于S，过F作AC垂线交AC于T，进而得出E，F分别为AB，BC中点，再求出四边形PBQD为平行四边形，进而求出AC与BD互相平分，即可得出答案．

解答：证明：如图所示：
连接BD，BQ，BP，EF，过E作AC垂线交AC于S，过F作AC垂线交AC于T．
∵AP=PQ=QC 
∴S_△APD=S_△DQC，
又∵S_△ADE=S_△CDF 
∴S_△APE=S_△QCF，
∴ES=TF，
又∵ES‖FT，
∴四边形SEFT为平行四边形 
∴EF‖ST 
∴AE：EB=CF：BF 
∴S_△DAE：S_△DEB=S_△DFC：S_△DBF=AE：EB 
∴（S_△DAE+S_△DFC）：（S_△DEB+S_△DBF）=AE：EB，
又∵S_△ADE=S_△CDF=

1

4

 S_{四边形ABCD}，
S_△DEB+S_△DBF=

1

2

S_{四边形ABCD} 
∴AE：EB=S_△DAE+S_△DFC：S_△DEB+S_△DBF=1：1 
∴E，F分别为AB，BC中点 
在△ABQ中 
E为AB中点，P为AQ中点 
∴EP‖BT，即ED‖BQ 
同理，在△CBP中，FQ‖PB，即DF‖BP 
∴四边形PBQD为平行四边形 
∴BD与PQ互相平分，
∴PO=OQ 
∴AP+PO=QC+OQ，即OA=OC 
∴AC与BD互相平分 
∴四边形ABCD为平行四边形．

点评：此题主要考查了平行四边形的判定，利用三角形面积关系得出E，F分别为AB，BC中点，是解题关键．