【题目】如图1,抛物线的顶点为点
,与
轴的负半轴交于点
,直线
交抛物线W于另一点
,点
的坐标为
.
(1)求直线的解析式;
(2)过点作
轴,交
轴于点
,若
平分
,求抛物线W的解析式;
(3)若,将抛物线W向下平移
个单位得到抛物线
,如图2,记抛物线
的顶点为
,与
轴负半轴的交点为
,与射线
的交点为
.问:在平移的过程中,
是否恒为定值?若是,请求出
的值;若不是,请说明理由.
【答案】(1);(2)
;(3)
恒为定值
.
【解析】
(1)由抛物线解析式可得顶点A坐标为(0,-2),利用待定系数法即可得直线AB解析式;
(2)如图,过点作
于
,根据角平分线的性质可得BE=BN,由∠BND=∠CED=90°,∠BND=∠CDE可证明
,设BE=x,BD=y,根据相似三角形的性质可得CE=2x,CD=2y,根据勾股定理由得y与x的关系式,即可用含x的代数式表示出C、D坐标,代入y=ax2-2可得关于x、a的方程组,解方程组求出a值即可得答案;
(3)过点作
于点
,根据平移规律可得抛物线W1的解析式为y=
x2-2-m,设点
的坐标为(t,0)(t<0),代入y=
x2-2-m可得2+m=
t2,即可的W1的解析式为y=
x2-
t2,联立直线BC解析式可用含t的代数式表示出点C1的坐标,即可得
,可得∠
,根据抛物线W的解析式可得点D坐标,联立直线BC与抛物线W的解析式可得点C、A坐标,即可求出CG、DG的长,可得CG=DG,∠CDG=∠
,即可证明
,可得
,
,由∠CDG=45°可得BF=DF,根据等腰三角形的性质可求出DF的长,利用勾股定理可求出CD的长,即可求出CF的长,根据三角函数的定义即可得答案.
(1)∵抛物线W:的顶点为点
,
∴点,
设直线解析式为
,
∵B(1,0),
∴,
解得:,
∴抛物线解析式为:.
(2)如图,过点作
于
,
∵平分,
,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
设,则
,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴点,点
,
∴点,点
是抛物线W:
上的点,
∴,
∵x>0,
∴,
解得:(舍去),
,
∴,
∴,
∴抛物线解析式为:.
(3)恒为定值,理由如下:
如图,过点作
轴于H,过点
作
轴G,过点
作
于点
,
∵a=,
∴抛物线W的解析式为y=x2-2,
∵将抛物线W向下平移m个单位,得到抛物线,
∴抛物线的解析式为:
,
设点的坐标为
,
∴,
∴,
∴抛物线的解析式为:
,
∵抛物线与射线
的交点为
,
∴,
解得:,
(不合题意舍去),
∴点的坐标
,
∴,
∴,
∴,且
轴,
,
∵与
轴交于点
,
∴点,
∵与
交于点
,点
,
∴,
解得:或
,
∴点,A(0,-2),
∴,
∴,且
轴,
∴,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∵点,点
,
∴,
∴,
∴,
∴恒为定值.
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【题目】如图:学校旗杆附近有一斜坡.小明准备测量学校旗杆AB的高度,他发现当斜坡正对着太阳时,旗杆AB的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上,此时小明测得水平地面上的影长BC=16米,斜坡坡面上的影长CD=10米,太阳光线AD与水平地面成30°角,斜坡CD与水平地面BC成30°的角,求旗杆AB的高度(结果保留根号)
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【题目】解下列一元二次方程.
(1)(x+3)2﹣25=0;
(2)3(1+x)2=27;
(3)x2﹣4x+6=0;
(4)(x﹣1)(x+3)=12;
(5)3(x﹣2)2=x(x﹣2).
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【题目】已知,平面直角坐标系中,直线y=-x+6交x轴于点A,交y轴于点B,点C为OB上一点,连接AC,且;
(1)求C点坐标;
(2)D为OC上一点,连接AD并延长至点E,连接OE、CE,取AE中点F,连接BF、OF,当F在第一象限时,求的值;
(3)在(2)的条件下,将射线AC延AE翻折交OE于点P,连接BP,过O作OH⊥AE于H,若AD=4FH,,求直线PB的解析式.
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【题目】某商场要经营一种新上市的文具,进价为元
件.试营销阶段发现:当销售单价是
元时,每天的销售量为
件;销售单价每上涨
元,每天的销售量就减少
件.
(1)写出商场销售这种文具,每天所得的销售利润(元)与销售单价
(元)之间的函数关系式.
(2)当销售单价定为多少元时,该文具每天的销售利润最大?最大利润为多少元?
(3)商场的营销部结合上述情况,提出了,
两种营销方案:
方案:该文具的销售单价高于进价,但不超过
元;
方案:每天销售量不少于
件,且每件文具的利润至少为
元.
请比较哪种方案的最大利润更高,并说明理由.
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【题目】在平面直角坐标系中,点
的坐标为
,点
的变换点
的坐标定义如下:当
时,点
的坐标为
;当
时,点
的坐标为
.
(1)点的变换点
的坐标是_________;点
的变换点为
,连接
,
,则
__________
;
(2)若点是函数
图象上的一点,点
的变换点为
,连接
,求线段
长的取值范围;
(3)已知抛物线与
轴交于点
,
(点
在点
的左侧),顶点为
.点
在抛物线
上,点
的变换点为
.若点
恰好在抛物线的对称轴上,且四边形
是菱形,求
的值.
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【题目】如图,在△ABC中,AD是角平分钱,点E在AC上,且∠EAD=∠ADE.
(1)求证:△DCE∽△BCA;
(2)若AB=3,AC=4.求DE的长.
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【题目】为了调查学生对垃圾分类及投放知识的了解情况,从甲、乙两校各随机抽取40名学生进行了相关知识测试,获得了他们的成绩(百分制),并对数据(成绩)进行了整理、描述和分析.下面给出了部分信息.
a.甲、乙两校40名学生成绩的频数分布统计表如下:
成绩x 学校 | |||||
甲 | 4 | 11 | 13 | 10 | 2 |
乙 | 6 | 3 | 15 | 14 | 2 |
(说明:成绩80分及以上为优秀,70~79分为良好,60~69分为合格,60分以下为不合格)
b.甲校成绩在这一组的是:
70 70 70 71 72 73 73 73 74 75 76 77 78
c.甲、乙两校成绩的平均分、中位数、众数如下:
学校 | 平均分 | 中位数 | 众数 |
甲 | 74.2 | n | 85 |
乙 | 73.5 | 76 | 84 |
根据以上信息,回答下列问题:
(1)写出表中n的值;
(2)在此次测试中,某学生的成绩是74分,在他所属学校排在前20名,由表中数据可知该学生是_____________校的学生(填“甲”或“乙”),理由是__________;
(3)假设乙校800名学生都参加此次测试,估计成绩优秀的学生人数.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】某水果店在两周内,将标价为10元/斤的某种水果,经过两次降价后的价格为8.1元/斤,并且两次降价的百分率相同.
(1)求该种水果每次降价的百分率;
(2)从第一次降价的第1天算起,第天(
为整数)的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示.
时间 | ||
售价(元/斤) | 第1次降价后的价格 | 第2次降价后的价格 |
销量(斤) | ||
储存和损耗费用(元) |
已知该种水果的进价为4.1元/斤,设销售该水果第(天)的利润为
(元),求
与
(
)之间的函数解析式,并求出第几天时销售利润最大.
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