Question

【题目】如图，直线y＝﹣x+5与x轴交于点B，与y轴交于点D，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝﹣x+5交于B，D两点，点C是抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点M是直线BD上方抛物线上的一个动点，其横坐标为m，过点M作x轴的垂线，交直线BD于点P，当线段PM的长度最大时，求m的值及PM的最大值；

（3）在抛物线上是否存在异于B、D的点Q，使△BDQ中BD边上的高为3，若存在求出点Q的坐标；若不存在请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x+5；（2）当m＝时，PM有最大值；（3）存在满足条件的点Q，其坐标为Q1（2，9），Q2（3，8），Q3（﹣1，0），Q4（6，﹣7）．

【解析】

（1）y=-x+5，令x=0，则y=5，令y=0，则x=5，故点B、D的坐标分别为（5，0）、（0，5），利用待定系数法即可求解；
（2）由题意可得M点坐标为（m，﹣m2+4m+5），则则P点坐标为（m，﹣m+5），表示出PM的长度：PM=-m2+4m+5-（-m+5）=-m2+5m=-（m-）2+，利用二次函数的性质即可求解；
（3）过Q作QG∥y轴交BD于点G，交x轴于点E，作QH⊥BD于H，设出Q点坐标Q（x，﹣x2+4x+5），则G（x，﹣x+5），表示出QG的长度QG=|-x2+4x+5-（-x+5）|=|-x2+5x|，由条件可得△BOD是等腰直角三角形，，可证得△QHG为等腰直角三角形，则当△BDQ中BD边上的高为3时，即QH=HG=3，QG=×3=6，|-x2+5x|=6，即可求解．

解：（1）y＝﹣x+5，令x＝0，则y＝5，令y＝0，则x＝5，

故点B、D的坐标分别为（5，0）、（0，5），

则二次函数表达式为：y＝﹣x2+bx+5，将点B坐标代入上式并解得：b＝4，

故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x+5；

（2）设M点横坐标为m（m＞0），则P（m，﹣m+5），M（m，﹣m2+4m+5），

∴PM＝﹣m2+4m+5﹣（﹣m+5）＝﹣m2+5m＝﹣（m-）2+，

∴当m＝时，PM有最大值；

（3）如图，过Q作QG∥y轴交BD于点G，交x轴于点E，作QH⊥BD于H，

设Q（x，﹣x2+4x+5），则G（x，﹣x+5），

∴QG＝|﹣x2+4x+5﹣（﹣x+5）|＝|﹣x2+5x|，

∵△BOD是等腰直角三角形，

∴∠DBO＝45°，

∴∠HGQ＝∠BGE＝45°，

∴△QHG是等腰直角三角形，

当△BDQ中BD边上的高为3时，即QH＝HG＝3，

∴QG＝×3＝6，

∴|﹣x2+5x|＝6，

当﹣x2+5x＝6时，解得x＝2或x＝3，

∴Q（2，9）或（3，8），

当﹣x2+5x＝﹣6时，解得x＝﹣1或x＝6，

∴Q（﹣1，0）或（6，﹣7），

综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为Q1（2，9），Q2（3，8），Q3（﹣1，0），Q4（6，﹣7）．