Question

【题目】已知：如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，且E为CD中点，过点B作CD的平行线交弦AD的延长线于点F .

（1）求证：BF是⊙O的切线；

（2）连结BC，若⊙O的半径为2，tan∠BCD=，求线段AD的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）由垂径定理可证AB⊥CD，由CD∥BF，得AB⊥BF，则BF是⊙O的切线；

（2）连接BD，根据同弧所对圆周角相等得到∠BCD =∠BAD，再利用圆的性质得到∠ADB=90°， tan∠BCD= tan∠BAD= ，得到BD与AD的关系，再利用解直角三角形可以得到BD、AD与半径的关系，进一步求解即可得到答案.

（1）证明：∵ ⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，且E为CD中点

∴ AB ⊥CD, ∠AED =90°

∵ CD // BF

∴ ∠ABF =∠AED =90°

∴ AB⊥BF

∵ AB是⊙O的直径

∴ BF是⊙O的切线

（2）解：连接BD

∵∠BCD、∠BAD是同弧所对圆周角

∴∠BCD =∠BAD

∵ AB是⊙O的直径

∴∠ADB=90°

∵ tan∠BCD= tan∠BAD=

∴

∴设BD=3x，AD=4x

∴AB=5x

∵ ⊙O的半径为2，AB=4

∴5x=4，x=

∴AD=4x=