【题目】如图,现有一张矩形纸片ABCD,AB=4,BC=8,点M,N分别在矩形的边AD,BC上,将矩形纸片沿直线MN折叠,使点C落在矩形的边AD上,记为点P,点D落在G处,连接PC,交MN丁点Q,连接CM.
(1)求证:PM=PN;
(2)当P,A重合时,求MN的值;
(3)若△PQM的面积为S,求S的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2)2;(3)4≤S≤5
【解析】
(1)由平行线的性质得到∠PMN=∠MNC,由折叠的性质得到∠MNC=∠PNM,从而得到∠PMN=∠PNM即可解决问题;
(2)点P与点A重合时,设BN=x,表示出AN=NC=8-x,利用勾股定理列出方程求解得x的值,进而用勾股定理求得MN;
(3)当MN过D点时,求得四边形CMPN的最小面积,进而得S的最小值,当P与A重合时,S的值最大,求得最大值即可.
解(1)如图1中,
∵四边形ABCD是矩形,
∴PM∥CN,
∴∠PMN=∠MNC,
由折叠可得∠MNC=∠PNM,
∴∠PMN=∠PNM,
∴PM=PN;
(2)解:点P与点A重合时,如图2中,
设BN=x,则AN=NC=8﹣x,
在Rt△ABN中,AB2+BN2=AN2,
即42+x2=(8﹣x)2,
解得x=3,
∴CN=8﹣3=5,AC===4,
∴CQ=AC=2,
∴QN===,
∴MN=2QN=2;
(3)解:当MN过点D时,如图3所示,此时,CN最短,四边形CMPN的面积最小,则S最小为S=S菱形CMPN=×4×4=4,
当P点与A点重合时,CN最长,四边形CMPN的面积最大,则S最大为S=×5×4=5,
∴4≤S≤5.
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【题目】如图,是边长为的等边三角形,边在射线上,且,点从点出发,沿OM的方向以1cm/s的速度运动,当D不与点A重合时,将绕点C逆时针方向旋转60°得到,连接DE.
(1)如图1,求证:是等边三角形;
(2)如图2,当6<t<10时,DE是否存在最小值?若存在,求出DE的最小值;若不存在,请说明理由.
(3)当点D在射线OM上运动时,是否存在以D,E,B为顶点的三角形是直角三角形?若存在,求出此时t的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知有理数-3,1.
(1)在下列数轴上,标出表示这两个数的点,并分别用A,B表示;
(2)若|m|=2,在数轴上表示数m的点,介于点A,B之间,在A的右侧且到点B距离为5的点表示为n.
①计算m+n-mn;
②解关于x的不等式mx+4<n,并把解集表示在下列数轴上.
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【题目】济宁某校为了解九年级学生艺术测试情况.以九年极(1)班学生的艺术测试成绩为样本,按、、、四个等级进行统计,并将统计结果绘制成如下的统计图,请你结合图中所给信息解答下列问题:
(说明:级:90分~100分;级:75分~89分;级60分~74分;级:60分以下)
(1)此次抽样共调查了多少名学生?
(2)请求出样本中级的学生人数,井补全条形统计图;
(3)若该校九年级有1000名学生,请你用此样本估计艺术测试中分数不低于75分的学生人数,
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【题目】已知:如图,在平行四边形ABCD中,点F在AB的延长线上,且BF=AB,连接FD,交BC于点E.
(1)说明△DCE≌△FBE的理由;
(2)若EC=3,求AD的长.
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【题目】如图1,抛物线的顶点为点,与轴的负半轴交于点,直线交抛物线W于另一点,点的坐标为.
(1)求直线的解析式;
(2)过点作轴,交轴于点,若平分,求抛物线W的解析式;
(3)若,将抛物线W向下平移个单位得到抛物线,如图2,记抛物线的顶点为,与轴负半轴的交点为,与射线的交点为.问:在平移的过程中,是否恒为定值?若是,请求出的值;若不是,请说明理由.
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【题目】在平面直角坐标系中,点的坐标为,点的变换点的坐标定义如下:
当时,点的坐标为;当时,点的坐标为.
(1)点的变换点的坐标是 ;点的变换点为,连接,则 °;
(2)已知抛物线与轴交于点,(点在点的左侧),顶点为.点在抛物线上,点的变换点为.若点恰好在抛物线的对称轴上,且四边形是菱形,求的值;
(3)若点是函数图象上的一点,点的变换点为,连接,以为直径作,的半径为,请直接写出的取值范围.
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【题目】若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象于x轴的交点坐标分别为(x1,0),(x2,0),且x1<x2,图象上有一点M(x0,y0)在x轴下方,对于以下说法:①b2﹣4ac>0②x=x0是方程ax2+bx+c=y0的解③x1<x0<x2④a(x0﹣x1)(x0﹣x2)<0其中正确的是( )
A.①③④B.①②④C.①②③D.②③
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