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【题目】如图,现有一张矩形纸片ABCDAB4BC8,点MN分别在矩形的边ADBC上,将矩形纸片沿直线MN折叠,使点C落在矩形的边AD上,记为点P,点D落在G处,连接PC,交MN丁点Q,连接CM

1)求证:PMPN

2)当PA重合时,求MN的值;

3)若PQM的面积为S,求S的取值范围.

【答案】1)见解析;(22;(34≤S≤5

【解析】

1)由平行线的性质得到∠PMN=∠MNC,由折叠的性质得到∠MNC=∠PNM,从而得到∠PMN=PNM即可解决问题;

2)点P与点A重合时,设BN=x,表示出AN=NC=8-x,利用勾股定理列出方程求解得x的值,进而用勾股定理求得MN

3)当MND点时,求得四边形CMPN的最小面积,进而得S的最小值,当PA重合时,S的值最大,求得最大值即可.

解(1)如图1中,

∵四边形ABCD是矩形,

PMCN

∴∠PMN=∠MNC

由折叠可得∠MNC=∠PNM

∴∠PMN=∠PNM

PMPN

2)解:点P与点A重合时,如图2中,

BNx,则ANNC8x

RtABN中,AB2+BN2AN2

42+x2=(8x2

解得x3

CN835AC4

CQAC2

QN

MN2QN2

3)解:当MN过点D时,如图3所示,此时,CN最短,四边形CMPN的面积最小,则S最小为SS菱形CMPN×4×44

P点与A点重合时,CN最长,四边形CMPN的面积最大,则S最大为S×5×45

4≤S≤5

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