Question

【题目】定义：如（图1），点把线段分割成和，若以为边的三角形是一个直角三角形，则称点是线段的勾股分割点．

（1）已知点是线段的勾股分割点，若，求的长；

（2）如（图2），在等腰直角中， ，点为边上两点，满足，求证：点是线段的勾股分割点；阳阳同学在解决第（2）小题时遇到了困难，陈老师对阳阳说：要证明勾股分割点，则需设法构造直角三角形，你可以把绕点逆时针旋转试一试．请根据陈老师的提示完成第（2）小题的证明过程．

Answer 1

【答案】（1）BN=或；（2）见解析

【解析】

(1)分当MN为最大线段时和当BN为最大线段时，两种情况利用勾股定理即可解决问题；

(2)先证明△MCN≌△MCN′，得MN′=MN，由勾股定理得AN′2+AM2=MN′2，即可解答；

（1）解：①当MN为最大线段时，

∵点 M , N是线段AB的勾股分割点，

∴BN===；

②当BN为最大线段时，

∵点M , N是线段AB的勾股分割点，

∴BN==，

综上所述：BN=或；

（2）①证明：如图，连接MN′

∵∠ACB=90°，∠MCN=45°，∴∠BCN+∠ACM=45°，

∵∠AC N′=∠BCN，

∴∠MC N′=∠ACN′+∠ACM=∠BCN+∠ACM=45°=∠MCN，

在△MCN和△MCN′中，

∴△MCN≌△MC N′

∴M N′=MN

∵∠CAN′=∠CAB=45°

∴∠MAN ′=90，

AN′2+AM2=MN′2

即BN 2+AM 2=MN 2，

∴点M , N是线段AB的勾股分割点