Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E且AB＝AE，延长AB与DE的延长线相交于点F，连接AC、CF．下列结论：①△ABC≌△EAD；②△ABE是等边三角形；③BF＝AD；④S△BEF＝S△ABC；⑤S△CEF＝S△ABE；其中正确的有（ ）

A.2个B.3个C.4个D.5个

Answer 1

【答案】B

【解析】

根据平行四边形的性质可得AD//BC，AD=BC，根据平行线的性质可得∠BEA=∠EAD，根据等腰三角形的性质可得∠ABE=∠BEA，即可证明∠EAD=∠ABE，利用SAS可证明△ABC≌△EAD；可得①正确；由角平分线的定义可得∠BAE=∠EAD，即可证明∠ABE=∠BEA=∠BAE，可得AB＝BE＝AE，得出②正确；由S△AEC＝S△DEC，S△ABE＝S△CEF得出⑤正确；题中③和④不正确．综上即可得答案．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD＝BC，

∴∠BEA=∠EAD，

∵AB=AE，

∴∠ABE=∠BEA，

∴∠EAD=∠ABE，

在△ABC和△EAD中，，

∴△ABC≌△EAD（SAS）；故①正确；

∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE＝∠DAE，

∴∠ABE=∠BEA=∠BAE，

∴∠BAE＝∠BEA，

∴AB＝BE=AE，

∴△ABE是等边三角形；②正确；

∴∠ABE＝∠EAD＝60°，

∵△FCD与△ABC等底（AB＝CD）等高（AB与CD间的距离相等），

∴S△FCD＝S△ABC，

∵△AEC与△DEC同底等高，

∴S△AEC＝S△DEC，

∴S△ABE＝S△CEF；⑤正确．

若AD=BF，则BF＝BC，题中未限定这一条件，

∴③不一定正确；

如图，过点E作EH⊥AB于H，过点A作AG⊥BC于G，

∵△ABE是等边三角形，

∴AG=EH，

若S△BEF＝S△ABC，则BF=BC，题中未限定这一条件，

∴④不一定正确；

综上所述：正确的有①②⑤．

故选：B．