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【题目】如图,在RtABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点DE分别在ACBC上,BDAE交于点O,且CD=CE,若点FBD的中点,连接CF,交AE于点G

1)求证:CFAE

2)如图2,过点FFMBC,交AE的延长线于点M,垂足为M,连接CF,若CG=GM

①求证:CF=CM

②求的值.

【答案】(1)详见解析;(2)①详见解析;②

【解析】

证明,结合直角三角形斜边中线的性质解决问题即可.

证明四边形CDFM是平行四边形,即可解决问题.

连接EF,证明,把问题转化为:,求出OGa表示,即可解决问题.

1)证明:如图1中,

AC=BC,∠ACE=BCD=90°CE=CD

∴△ACE≌△BCDSAS),

∴∠CAE=CBD

DF=FB

CF=FD=FB

∴∠FCB=FBC

∴∠FCB=CAB

∵∠CAB+AEC=90°

∴∠AEC+FCB=90°

∴∠CGE=90°

CFAE

2)①证明:如图2中,

FMBC

∴∠FHC=CGE=MGF=90°

∴∠ECG+CEG=90°,∠ECG+CFH=90°

∴∠CEG=CFH

CG=GM

∴△CGE≌△MGFAAS),

CE=FMEG=GF

CD=CE

CD=FM

∵∠FHB=ACB=90°

CDFM

∴四边形CDFM是平行四边形,

CM=DF

CF=DF=FB

CM=CF

②连接EFBM.设FG=EG=a

CM=BFCMBF

FGBM

=

∵△CAE≌△CBD

∴∠CAE=CBD,∵∠CAB=CBA

∴∠OAB=OBA

OA=OB

=

易知OG=GF=EG=aEF=EM=a

OM=2a+a

==

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(1)求证:PG与⊙O相切;

(2)若=,求的值;

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