Question

【题目】如图，矩形ABCD中，点E为AD的中点，连结BE，将△ABE沿BE翻折，点A恰好落在AC上的点A处，若AB＝2，则AC的长度为_____．

Answer 1

【答案】2

【解析】

连接A'D，设BE与AC交于点M，由翻折知，BE垂直平分AA'，证明△ABM≌△CDA'，推出A'C＝AM，再证明△BAM∽△CAB，设AM＝A'M＝A'C＝x，则AC＝3x，通过相似三角形对应边的比相等可求出x的值，进一步求出AC的长度．

解：如图，连接A'D，设BE与AC交于点M，

由翻折知，BE垂直平分AA'，

∴AB＝A'B＝2，AM＝A'M，AE＝A'E，

∵四边形ABCD为矩形，

∴AB＝CD，AB∥CD，∠ABC＝90°，

∴∠DCA＝∠BAC，

∵点E为AD的中点，

∴AE＝DE＝A'E，

∴点A，A'，D三点在以AD为直径的圆上，

∴∠DA'A＝∠DA'C＝90°＝∠AMB，

∴△ABM≌△CDA'（AAS），

∴A'C＝AM，

∴AM＝A'M＝A'C，

∵∠ABC＝∠ANB＝90°，∠BAM＝∠BAM，

∴△BAM∽△CAB，

∴，

设AM＝A'M＝A'C＝x，则AC＝3x，

∴，

解得，x＝（取正值），

∴3x＝2，

∴AC＝2，

故答案为：2．