Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，A（m，0），B（m+4，0），对于线段AB和x轴上方的点P给出如下定义：当时，称点P为线段AB的“半月点”．

（1）若时，

①在点C（3，1），D（5，3），E（2，4）中，线段AB的“半月点”有 ；

②在直线上存在线段AB的“半月点”，求b的取值范围．

（2）请从下面两个问题中任选一个作答．

温馨提示：两题均答不重复计分．

问题一：直线与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段AB的所有“半月点”都在内部，直接写出m的取值范围．

问题二：点G（3，﹣1），点P为线段AB的“半月点”，直线GP把线段AB分成1：3两部分，当时，直接写出点P的横坐标的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）①D、E；②；（2）问题1：；（2）问题2：点P的横坐标的取值范围为，．

【解析】

（1）①如图画出“半月型”的图形即可判断；

②当直线经过点B（6，0）时，，当直线与相切时，由，消去y整理得到，由题意，可得，解得或﹣6，由此即可判断；

（2）问题一：易知“半月型”的大圆半径为，小圆半径为2，当“半月型”与y轴相切时，，当“半月型”与直线相切时，易知切点为（10，4），此时B（10，0），，即可推出当时，线段AB的所有“半月点”都在内部．

问题二：如图3中，直线PG分线段AB三等分，①当直线PG经过Q（2，0）时，直线PG的解析式为，由求得，由，求得，即可得点P的横坐标的范围.

②当直线PG经过F（4，0）时，同法可求.

（1）①如图1，

由已知可知AE=BE=4，∠EAB=90°，

∴∠AEB=∠ABE=45°，

AF=DF=3，∠AFD=90°，∴∠DAF=45°，

∴∠DAF+∠ABE=90°，

∴∠AHB=90°，

∴∠ADB<90°，∠ACB>90°，

∴线段AB的“半月点”有D，E，

故答案为D、E．

②如图2中，

ⅰ当直线经过点B（6，0）时，，

ⅱ当直线与相切时，由，

消去y整理得到，

由题意，可得，解得或﹣6，

综上所述，在直线上存在线段AB的“半月点”，b的取值范围为．

（3）问题一：如图，由上可知半圆AB的中点Q为“半月型”的大圆的圆心，

则“半月型”大圆的半径为，小圆半径为2，

当“半月型”与y轴相切时，即QF⊥y轴时，此时QF=2，则，

当“半月型”与直线相切时，即AP⊥直线y=-x+14，

此时切点为P，∠PBA=90°，

又直线y=-x+14与x轴的夹角∠PGB=45°，

∴∠PAB=45°，

∴△PAG为等腰直角三角形，

∴BG=PB=AB=4，

又y=0时，0=-x+14，解得x=14，即G（14，0），

∴P（10，4），B（10，0），A（6，0）

即，

∴当时，线段AB的所有“半月点”都在△MON内部．

问题2：如图3中，

∵直线PG分线段AB三等分，

①当直线PG经过Q（2，0）时，

直线PG的解析式为，

由，解得或（舍去），

∴，

由，解得或（舍去），

∴，

∴点P的横坐标的范围为．

②当直线PG经过F（4，0）时，

直线PG的解析式为，同法可得点P的横坐标的取值范围为，

综上所述，满足条件的点P的横坐标的取值范围为，．