Question

如图，直线AB分别交x轴，y轴于A，B，C在y轴上，作∠OCD=∠OAB，CD交OA于D．

（1）请说明CD和AB位置关系；
（2）∠ADC的平分线DE与∠OAB的平分线交于F，求∠F；
（3）M是线段AD上任意一点（不同于A、D），作MN⊥x轴交AF于N，作∠ADE与∠ANM的平分线交于P点，在前面的条件下，给出下列结论：①∠P-∠MAN的值不变；②∠P的值不变．可以证明，其中有且只有一个结论是正确的，请你作出正确的选择并求值．

Answer 1

考点：三角形内角和定理,垂线,三角形的外角性质

专题：

分析：（1）利用等量代换得出∠OCD+∠OBA=90°，说明CD⊥AB即可；
（2）利用角平分线的性质，邻补角的意义以及三角形的内角和定理在△AFD中解决问题即可；
（3）利用角平分线的性质，三角形的内角和，四边形的内角和解决问题即可．

解答：解：（1）CD⊥AB．
如图，

延长CD交AB于点P，
∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OCD=∠OAB，
∴∠OBA+∠OCD=90°，
∴∠CPB=180°-（∠OBA+∠OCD）=90°，
∴CD⊥AB．
（2）如图，

∵DE平分∠ADC，AF平分∠OAB，
∴∠ADE=

1

2

∠ADC=

1

2

（∠COD+∠OCD），∠FAD=

1

2

∠BAO，
∴∠FDA=180°-

1

2

（∠COD+∠OCD）=135°-

1

2

∠OCD，
∵∠OCD=∠OAB，
∴在△ADF中，
∠F=180°-（∠FDA+∠DAF）
=180°-（135°-

1

2

∠OCD+

1

2

∠BAO）
=180°-135°
=45°．
（3）∠P值不变．
∵∠ADF+∠MNF=360-（∠F+90°）=225°，
∴∠PDA+∠PNM=

1

2

（∠EDA+∠ANM）=

1

2

（180°-∠ADF+180°-∠MNF）=67.5°，
∠P=360°-∠F-∠ADF-∠MNF-∠PDA-∠PNM=22.5°．
∴∠P值不变．

点评：此题考查三角形的内角和定理，四边形的内角和，角平分线的性质等知识点，注意结合图形，灵活解答．