【题目】车辆转弯时,能否顺利通过直角弯道的标准是:车辆是否可以行使到和路的边界夹角是45°的位置(如图1中②的位置),例如,图2是某巷子的俯视图,巷子路面宽4m,转弯处为直角,车辆的车身为矩形ABCD,CD与DE、CE的夹角都是45°时,连接EF,交CD于点G,若GF的长度至少能达到车身宽度,则车辆就能通过.
(1)试说明长8m,宽3m的消防车不能通过该直角转弯;
(2)为了能使长8m,宽3m的消防车通过该弯道,可以将转弯处改为圆弧(分别是以O为圆心,以OM和ON为半径的弧),具体方案如图3,其中OM⊥OM′,请你求出ON的最小值.
【答案】(1)消防车不能通过该直角转弯;(2)ON至少为4.5米.
【解析】
(1)过点F作FH⊥EC于点H,根据道路的宽度求出FH=EH=4m,然后根据等腰直角三角形的性质求出EF、GE的长度,相减即可得到GF的长度,如果不小于车身宽度,则消防车能通过,否则,不能通过;
(2)假设车身C、D分别与点M′、M重合,根据等腰直角三角形的性质求出OG=CD=4,OC=CG=4,然后求出OF的长度,从而求出可以通过的车宽FG的长度,如果不小于车宽,则消防车能够通过,否则,不能通过;设ON=x,表示出OC=x+4,OG=x+3,又OG=CD=4,在Rt△OCG中,利用勾股定理列式进行计算即可求出ON的最小值.
解:(1)消防车不能通过该直角转弯.
理由如下:如图,作FH⊥EC,垂足为H,
∵FH=EH=4,
∴EF=4,且∠GEC=45°,
∵GC=4,
∴GE=GC=4,
∴GF=4﹣4<3,
即GF的长度未达到车身宽度,
∴消防车不能通过该直角转弯.
(2)若C、D分别与M′、M重合,则△OGM为等腰直角三角形,
∴OG=4,OM=4,
∴OF=ON=OM﹣MN=4﹣4,
∴FG=OG﹣OF=×8﹣(4﹣4)=8﹣4<3,
∴C、D在上,
设ON=x,连接OC,在Rt△OCG中,
OG=x+3,OC=x+4,CG=4,
由勾股定理得,OG2+CG2=OC2,
即(x+3)2+42=(x+4)2,
解得x=4.5.
答:ON至少为4.5米.
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【题目】如图(1),为等腰三角形,,点是底边上的一个动点,,.
(1)用表示四边形的周长为 ;
(2)点运动到什么位置时,四边形是菱形,请说明理由;
(3)如果不是等腰三角形图(2),其他条件不变,点运动到什么位置时,四边形是菱形(不必说明理由).
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【题目】某校为了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况,随机选取该校部分学生进行调查,要求每名学生从中选出一类最喜爱的电视节目,以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分.
类别 | |||||
类型 | 新闻 | 体育 | 动画 | 娱乐 | 戏曲 |
人数 | 11 | 20 | 40 | 4 |
请你根据以上信息,回答下列问题:
(1)统计表中的值为_______,统计图中的值为______,类对应扇形的圆心角为_____度;
(2)该校共有1500名学生,根据调查结果,估计该校最喜爱体育节目的学生人数;
(3)样本数据中最喜爱戏曲节目的有4人,其中仅有1名男生.从这4人中任选2名同学去观赏戏曲表演,请用树状图或列表求所选2名同学中有男生的概率.
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【题目】是指空气中直径小于或等于的颗粒物,它对人体健康和大气环境造成不良影响,下表是根据《全国城市空气质量报告》中的部分数据制作的统计表.根据统计表回答下列问题,
(1)2018年7~12月平均浓度的中位数为 ;
(2)“扇形统计图”和“折线统计图”中,更能直观地反映2018年7~12月平均浓度变化过程和趋势的统计图是 ;
(3)某同学观察统计表后说:“2018年7~12月与2017年同期相比,空气质量有所改善”,请你用一句话说明该同学得出这个结论的理由.
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【题目】(问题原型)如图,在中,对角线的垂直平分线交于点,交于点,交于点.求证:四边形是菱形.
(小海的证法)证明:
是的垂直平分线,
,(第一步)
,(第二步)
.(第三步)
四边形是平行四边形.(第四步)
四边形是菱形. (第五步)
(老师评析)小海利用对角线互相平分证明了四边形是平行四边形,再利用对角线互相垂直证明它是菱形,可惜有一步错了.
(挑错改错)(1)小海的证明过程在第________步上开始出现了错误.
(2)请你根据小海的证题思路写出此题的正确解答过程,
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【题目】某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2,施工队在绿化了22000米2后,将每天的工作量增加为原来的1.5倍,结果提前4天完成了该项绿化工程.
(1)该项绿化工程原计划每天完成多少米2?
(2)该项绿化工程中有一块长为20米,宽为8米的矩形空地,计划在其中修建两块相同的矩形绿地,它们的面积之和为56米2,两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道(如图所示),问人行通道的宽度是多少米?
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【题目】在平面直角坐标系中,直线与轴交于点,点与点关于轴对称,过点作轴的垂线,直线与直线交于点.
(1)求点的坐标;
(2)如果抛物线与线段有唯一公共点,
①求抛物线的对称轴,
②求的取值范围.
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